响应曲面法

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:11:54 #实验设计,统计方法,统计理论,最佳化决策,数学最佳化,运筹学,工业工程,系统工程,品质管制

响应曲面法(Response surface methodology,简写RSM)为结合数学与统计而延生出的方法,为最适实验设计或作业条件的有利工具,于1951年,Box 和 Wilson 共同进行数学模式的建立与推导,而后普遍应用于电子、机械、农业、化学工业、生物科技、材料科学、食品科学及工业制程改善等各项研究领域中。

响应曲面法在协助研究人员对科学系统或工业制程中最佳产品设计、制程改善、系统最佳化等问题提供一套分析、求解程序,大部分应用时机均属工业性研究,尤其是当系统特性受大量变数影响状况下最为适当。

响应曲面法之研究问题,一般假设问题为限制性之最佳化问题,目标函数的确切型式是未知的 Y = f ( X 1 , X 2 , , X k ) + ϵ {\displaystyle Y=f(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{k})+\epsilon } ϵ {\displaystyle \epsilon } 为误差,响应曲面法一般在此前提的假设与应用系统的限制下,可有效地求得最佳实验或作业变数值。一般来说,执行响应曲面法大致分为两阶段:

为探讨独立变数与响应变数之间的数学模式关系,因此欲对于响应和独立变数之间找出一个适当的近似函数。通常利用独立变数在一些范围里的低阶多项式近似,即为一阶回归模型 (first-order model),

如果系统中有曲率,则必须利用较高阶的多项式,如二阶模型(second-order model)。

获得最适化实务模型便是本阶段最重要的议题。收集资料后以最小平方法 (least squares estimation, LSE) 配适,以寻找出一个适当近似的函数,采用回归分析的显著性检定 (general linear test approach) 来了解独立变数与响应变数间的关系强弱,并检定配适的模式是否恰当 (statistical adequacy)。当实验区域接近最佳响应值附近时,真实响应曲面的曲率 (curvature) 会增加,则考虑二阶模型,同样的,我们需要检定二阶模式的适当性。当这个二阶回归模式配适良好时,便可以利用这二阶模式求得最适操作点及特征化响应曲面。

在应用上主要存在下列二项限制:

因此大量的研究注重在最适化协定堆叠 (protocol stack) 中个体层的协议之执行。一些基本的参数如下:

而这里主要探讨的是行动式随意网络里 IEEE 802.11 中的 媒体存取控制 (Medium access control, MAC) 协定和随意随选距离向量 (Ad hoc On demand Distance Vector, AODV) 路由协议间的通讯。由于目前没有一个通用的方法论来确认和最适化协定之间的通讯,这里利用响应曲面法来解决这些问题。

考虑三个可能影响的因子:

A:Active route timeoutB:Max route request wait timeoutC:Max retransmissions

将三个因子分别设定成二个水准(利用 ns-2 模拟器中 AODV 软件分配的预设值)

而网络性能上考虑以下二个变数做为响应变数:

Average throughput:目的地節點每秒收到的數量(bytes/sec)Average packet delay:一個封包從來源送到目的節點所花的平均時間(sec)

因此我们将网络分析的问题转变为二水准三因子实验设计(response surface design)

接下来利用响应曲面法寻求最佳化 (response surface optimization) ,使得 average throughput 最大,average packet delay 最小。并且在某个限制式下,寻求最佳解,例如,延迟时间在 400ms 之内。

可利用 ns-2 模拟器来模拟出 20 次不同的流动情境,拿预设值和用 RSM 找出的最佳解做比较。

在不同的网络设定下,有可能导致不同因子对于响应变数的影响程度。因此对于因子在不同网络环境下之表现行为的了解,对 RSM 是很重要的。不仅可以决定超初的搜寻范围,亦可决定最陡上升(下降)法的步伐大小。某些应用中,平均网络速度及节点密度是已知的条件,在自然世界的动态中可能会不合适,因此在分析时亦需将当下的网络条件随时做改变。关于这个问题,可将因子配上一个权重表示,设定所有因子的权重起始值为1,而权重将随着网络设定的不同而改变;0表示对响应变数没有影响。

此例子为在 IEEE 802.11 中的媒体存取控制协定和随意随选距离向量路由协定中的通讯,其他的协定下的补充研究可参考

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