哈密顿向量场

在数学与物理中，哈密顿向量场是辛流形上一个向量场，定义在任何能量函数或哈密顿函数上。以物理学家和数学家威廉·卢云·哈密顿命名。哈密顿向量场是经典力学中的哈密顿方程的几何表现形式，哈密顿向量场的积分曲线表示哈密顿形式的运动方程的解。由哈密顿向量场生成的流是辛流形的微分同胚，在物理中称为典范变换，在数学中称为（哈密顿）辛同胚。

哈密顿向量场可以更一般地定义在任何泊松流形上。对应于流形上的函数 与 的两个哈密顿向量场的李括号也是一个哈密顿向量场，其哈密顿函数由 与 的泊松括号给出。

假设 (,ω) 是一个辛流形。因为辛形式 ω 非退化，诱导了切丛 ${\displaystyle TM}$ 上的1-形式可以与向量场等价起来，故任何可微函数 ${\displaystyle H:M\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}}$ = Ω(d)，称为哈密顿函数 的哈密顿向量场。即对 上任何向量场 ，等式

一定成立。

注：一些作者定义哈密顿向量场为相反的符号；需注意物理与数学著作的不同习惯。

假设 是一个 2 维辛流形。则由达布定理，我们在局部总可以取 的一个典范坐标 ${\displaystyle (q^1,\dots <!--\; \dots \; -->,q^n,p_1,\dots <!--\; \dots \; -->,p_n)}$ 的哈密顿向量场具有形式

这里 Ω 是一个 2 × 2 矩阵

假设 = R2n 是 2 维具有（整体）典范坐标的辛向量空间。

哈密顿向量场的概念导致了辛流形 上的可微函数的一个斜对称双线性算子，这就是泊松括号，由如下公式定义

这里 ${\displaystyle {\mathcal{L}}_X}$ 的李导数。此外，我们可以验证有恒等式：

这里右边表示哈密顿函数 与 对应的哈密顿向量场的李括号。事实上有：

作为一个推论，泊松括号满足雅可比恒等式。

这意味着 上可微函数组成的向量空间，赋予泊松括号，是 R 上的一个李代数，且映射 ${\displaystyle f\mapsto <!--\; \mapsto \; -->X_f}$ 连通则为常数）。