特征线法

✍ dations ◷ 2025-11-20 14:33:50 #偏微分方程

数学中的特征线法是求解偏微分方程的一种方法，适用于准线性偏微分方程的求解。只要初始值不是沿着特征线给定，即可通过特征线法获得偏微分方程的精确解。其基本思想是通过把双曲线型的准线性偏微分方程转化为两组常微分方程，再对常微分方程进行求解。两组常微分方程中的一组用于定义特征线，另一组用以描述解沿给定特征线变化。

设所需求解的准线性偏微分方程为

$a_{1}\left({\boldsymbol {x}},u\right){\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}+a_{2}\left({\boldsymbol {x}},u\right){\frac {\partial u}{\partial x_{2}}}+\cdots +a_{N}\left({\boldsymbol {x}},u\right){\frac {\partial u}{\partial x_{N}}}=b\left({\boldsymbol {x}},u\right)$ 已知, 考虑R3中的曲面 = (,). 曲面的法向量为

那么, 方程 (1) 表示向量场

与曲面 = (,) 在任意点处相切. 换句话说, 解函数的图像必定是该向量场的积分曲线的并. 这些积分曲线被称作偏微分方程的特征线.

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