希尔伯特-黄转换

✍ dations ◷ 2024-12-23 14:56:50 #信号处理,时间序列分析

希尔伯特-黄转换（Hilbert-Huang Transform），由台湾中央研究院院士黄锷（Norden E. Huang）等人提出，将欲分析数据分解为本质模态函数（intrinsic mode functions, IMF），这样的分解流程称为经验模态分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)的方法。然后将IMF作希尔伯特转换(Hilbert Transform)，正确地获得资料的瞬时频率。此方法处理对象乃针对非稳态与非线性讯号。与其他数学转换运算（如傅立叶变换）不同，希尔伯特-黄转换算是一种应用在数据资料上的算法，而非理论工具。

任何一个资料，满足下列两个条件即可称作本质模态函数。

⒈ 局部极大值(local maxima)以及局部极小值(local minima)的数目之和必须与零交越点(zero crossing)的数目相等或是最多只能差1，也就是说一个极值后面必需马上接一个零交越点。

⒉ 在任何时间点，局部最大值所定义的上包络线(upper envelope)与局部极小值所定义的下包络线，取平均要接近为零。

因此，一个函数若属于IMF，代表其波形局部对称于零平均值。此类函数类似于弦波（sinusoid-like），但是这些类似于弦波的部分其周期与振幅可以不是固定。因为，可以直接使用希尔伯特转换，求得有意义的瞬时频率。

建立IMF是为了满足希尔伯特转换对于瞬时频率的限制条件之前置处理，也是一种转换的过程。我们将IMF来做希尔伯特转换可以得到较良好的特性，不幸的是大部分的资料并不是IMF，而是由许多弦波所合成的一个组合。如此一来，希尔伯特转换并不能得到正确的瞬时频率，我们便无法准确的分析资料。为了解决非线性（non-linear）与非稳态（non-stationary）资料在分解成IMF时所遇到的困难，便发展出EMD。

经验模态分解是将讯号分解成IMF的组合。经验模态分解是借着不断重复的筛选程序来逐步找出IMF。

以讯号 $s\left(t\right)$ Number Criterion):订连续次的筛选，当极值数目与跨零点数目相同时，即停止筛选动作。若值够小，迭代的速度较快，但不能确保本质模态函数为严格对称；当值越大时，所需的迭代过程不但越费时，且可能破坏瞬时频率和瞬时振幅所代表的物理意义。通常值介于3到5之间为最佳的停止准则。

能量差异追踪法(Energy Different Tracking):假设原始讯号()包含着有限个彼此不相关的正交分量_i() $x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)+...+x_{n}(t)=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}(t)}\!$ ()的总能量可以表示为 $E_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }x_{i}(t)^{2}\,dt\,\!=\int _{-\infty }^{\infty }\,\!$ ₁()正好就是正交分量₁() ，则维持能量守恒；但如果₁()并非与原始讯号()正交，则总能量表示为 $E_{tot}=\int _{-\infty }^{\infty }c_{1}(t)^{2}\,dt+\int _{-\infty }^{\infty }^{2}\,dt\,\!=2E_{c1}+E_{x}-2\int _{-\infty }^{\infty }x(t)c_{1}(t)\,dt$ _tot ≠_x ，会产生一个能量差异_err 。若分量彼此间是正交的特性，表示所得到的本质模态函数不会有尺度混合的问题。实际上必然存在能量泄漏的现象，故本质模态函数分量间并非完全正交，所以只要假设一个够小的|_err| 当作停止准则，所分解出来的IMF正交性越高，其讯号的完整性、瞬时振幅与瞬时频率特性也会比以标准差(SD)为停止准则来的好，可以降低不必要的振荡，尤其在初始边界的部分。

阈值准则:以两阈值₁和₂作为停止准则。先用上下包络线算出模态振福(mode amplitude)，其式为 $a(t)={\frac {u_{k}(t)-l_{k}(t)}{2}}$ ()与模态振幅的绝对比值，称之为估计函数(evaluation function,() )： $e(t)=|{\frac {m(t)}{a(t)}}|$ -)达到()<₁，而且其剩余部分达到()<₂ ，则迭代停止。订定₁的目的是确保全域的小波动为均值使得本质模态函数不会产生不必要的振荡；而₂是考量到局部可能发生的间断性大偏离情况。典型的参数设定为 ≈ 0.05，₁ ≈ 0.05 ，₂ ≈ 10₁ 。

所有讯号分析工具都受边界影响其准确性，经验模态分析法尤其严重。主要造成边界效应的原因是经验模态分析法在边界部分难以判断极值，造成错误的包络线判定，使得分解出的本质模态函数在边界发生震荡或扭曲的现象，以下将介绍几种解决边界效应的方法。

特征波形扩充法:标准经验模态分析法的处理方式，在不改变边界值的前提下，利用特征波形扩充法 (Characteristic Wave Extending Method)，亦即由靠近边界两个连续极值的频率以及振幅，找到边界极大值与极小值。

镜像扩充法:利用镜像对称映照的特性，先将镜面放置在具有对称性的极值所在位置，使得原始序列对称地扩充成一个环状序列，再对此环状序列进行平稳化的动作。

相似搜寻法:利用了移动时间窗 (Moving Time Window) 先将原始讯号()分割成_i，表示如下： $X_{i}=^{T}$ _nearest的前方，将其附在原始序列的前头；同样地，对于后端边界点，将位于_nearest后方这两个极值点附在原始序列的尾端，完成扩充。

资料重建法:假设原始资料的长度为，资料重建法的步骤如下:

理想情况下，希尔伯特-黄转换能够将讯号以及极低频讯号彻底分离（基准线偏移），使得该低频讯号不会影响最后出来的结果。

$H=a(t)H$ ：

$R_{j}f(x)=c_{d}\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\mathbf {R} ^{d}\backslash B_{\epsilon }(x)}{\frac {(t_{j}-x_{j})f(t)}{|x-t|^{d+1}}}\,dt$ = 1,2,...,.
常数是一个维度标准化的常数

Linderhed则使用真二维EMD来压缩图档，相较于其他类型的压缩方式，此方法能提供一个更低的失真率。
Song and Zhang , Damerval et al. and Yuan et al. 则使用Delaunay triangulation来找寻图形的上界以及下界。
依据需求决定极大值的定义以及不同的渐进方式的选择，可以分别得到不同的效果。

由前述可知，希尔伯特-黄转换与传统的傅立叶转换、小波转换（wavelet）、短时间傅立叶转换（short-time fourier transform, STFT）不同等建立在卷积（Convolution）上的讯号处理方式，希尔伯特-黄转换是一套基于差值所建立出来的讯号处理模式，在大多数的情况下，运算量会远小于上述基于旋积所延伸出来的讯号转换方式。

由于本质上的差异，透过希尔伯特-黄转换在各种应用上，皆有可能得到一种新的解读方式与成果，因此希尔伯特-黄转换被广泛到运用到各个领域之中：

1.ECG的分析：

由于ECG再测量时，常会有基准线(baseline)的偏移，因此使用希尔伯特-黄转换最后可以在EMD中，找到整体的趋势线，将之屏弃之后就能得到基准线校准之后的ECG信号。除此之外，ECG经过希尔伯特-黄转换处理之后，可以有效的滤掉原本的高频噪声，使得相较于FFT之后的频谱，相较于直接转换的原讯号相比，在ECG相对应的峰值频率能够较为专一清楚。

2.太阳黑子的观测： 2015年1月21日 (三) 17:56 (UTC)

太阳黑子是观察太阳活动的一个重要依据，透过太阳黑子的观测，人们可以得知太阳目前的活跃程度，由于太阳黑子的多寡大小等，皆为不稳定、非线性的讯号，因此对于傅立叶变换来说，可能会因为Windows Function的性质差异，使得反映出来当下的资料有所误差。而对于希尔伯特-黄转换来说，并不会造成太大的影响，因此希尔伯特-黄转换在太阳黑子的观测上能有较佳的结果。

3.语音辨识：

由于每个人的音色、说话习惯是截然不同的，透过希尔伯特-黄转换，能够将各种不同频率的泛音以及振幅有规律且有效的分离出来，对于语音辨识来说是非常好的转换工具。同时，除了作为区分人与人之间身份的特性之外，希尔伯特-黄转换之后的语音讯号，对于应用大量机器学习的语音相关技术来说，是一个分类清楚且特性明显的训练资料，能够进一步用来发展语意辨识等需要依靠大量资料，才能建构出有效模型的技术。此类特性为傅立叶转换难以比拟的。

4.建筑结构的检测：

希尔伯特-黄转换能将讯号拆解成许多种子讯号，透过比对结构检测产生的讯号，能清楚的找到异常的检测讯号，并进一步找出建筑结构有安全疑虑之处。

5.经济数据的预测：

希尔伯特-黄转换可以处理金融相关的趋势，找到短期中期长期的相关趋势。

例如在股票数据资料中先找到一条平滑的趋势曲线以拟合经验数据，再以与原数据的差值包含尽可能多的有意义的周期;而平滑曲线可呈现长期趋势，差值则可进一步用于分析短期行为。

6.影像处理：

希尔伯特-黄转换在改良EMD之后,在影像的融合与增强上，相较于原本的EMD快上一倍。

7.地震研究：

希尔伯特-黄转换用来处理地震表面波的散射并比对经过傅立叶转换后之后的地震信号，提供另一种角度研究并解析地震信号。公元1999年时，台湾发生惨重的集集大地震，在事后比对由傅立叶转换所产生的频谱分析，发现在非静态、非线性的的表面信号之中，因为傅立叶转换本身线性的特性，使得低频信号被严重低估，同时产生大力的高频泛音。由于地震讯号大多为非静态、非线性的，这样的特性透过希尔伯特-黄转换分析，可能可以得到重大的分析成果，透过分离并保真原有信号，可以得知高频讯号与低频讯号可能发别来自于不同的区域，借此研究地壳运动。

8.神经科学：

EEG运用希尔伯特-黄转换之后，将之与TMS做比对，找寻脑部对于输入信号的反应。

9.大气科学：
由于大气科学中，无论是气流、降雨等，多半皆为间歇性的讯号，并不会是一个稳定的连续信号，不过透过带宽较窄的IMF，使得最后得到的结果，可以呈现一个周期且有趋势的变化。例如：曾经有研究运用希尔伯特-黄转换以3至5年为周期分析后指出维吉尼亚（Virginia）的降雨与Southern Oscillation 指数的相关系数高达0.65。

10.卫星讯号

可用来分析非线性且不稳定的太空天气数据(例如地球磁场的Kp指数、质子密度、电子密度、10.7 cm radio flux (RF)或X射线等等)，可以结合这些太空天气的相关参数，进而避免SEU(Single Event Upset)甚至其余ARO(Automatic Reconfiguration Order)事件的发生几率，也可使得卫星任务更为稳定。

总结以上，可以发现希尔伯特-黄转换与传统的频谱分析有极大的差异，希尔伯特-黄转换由于透过EMD来分析，使得其在预测趋势、分类资料（频率、时间）上，相较于传统的基于傅立叶转换所发展出来的信号技术，更能够让使用者从信号之中找到想要的趋势，因此在各个不同领域之中，都能或多或少看到希尔伯特-黄转换的应用。这些应用在传统信号处理领域是较为少见的，不过由于希尔伯特-黄转的建立方式的特性，使得他在统计上拥有极大的优点。

由上述可知，经验模态分解(EMD)是透过最大值重建讯号，并剔除之。因此，渐进的方式对于希尔伯特-黄转换来说，是一个非常重要的选择，不同的渐进选择会影响到希尔伯特-黄转换最后的结果。在大多数的情况之中，所选择的大多都是贝兹曲线，其能够有效产生出弦波，不过在某些极端例子中，例如脉冲波等，使用贝兹曲线作为希尔伯特-黄转换的渐进方式，会使得得出来的结果变得平滑而丧失了脉冲波的特性。因此针对输入信号选择适当的渐进方式，对于希尔伯特-黄转换是非常重要的课题。一般而言，越多阶（order）的曲线会得到较佳的渐进效果，不过同时的也会增加计算量。

同时，倘若没有设定结束递回的条件，任意一个讯号最后是否都能制造出有限组IMF，换言之，IMF的叠加是否可以收敛成任意一个讯号，这个问题在经过证明之后，发现是一个NP问题。

傅立叶变换是将一个讯号分解成无限多个弦波来分析资料，但是希尔伯特-黄转换则是将一个讯号分解成数个近似于弦波的讯号（周期、振幅不固定）和一个趋势函数来做分析。

两者各有其优缺点，整理如下

优点：

1.避免复杂的数学运算

2.可分析频率会随时间变化的讯号

3.较适于分析气候、经济等具有趋势的资料

4.可以找出一个函数的趋势

缺点：

1.缺乏严谨的物理及数学上的意义

2.需要复杂的递回，运算时间反而比短时距傅立叶变换要长

3.希尔伯特转换未必能正确计算出本质模态函数之瞬时频率

4.无法使用快速傅立叶变换

5.只有在特例（组合较简单的资料）时使用希尔伯特-黄转换较快

传统上认为希尔伯特-黄转换是一套无用且精准度低的方式，同时在发展前期，受到Bedrosian theorem的限制，直到后续又许多改良方法之后，使得希尔伯特-黄转换的缺点得到改善。同时其善于处理非静态、非线性的特性使得希尔伯特-黄转换提供了另外一套分析工具，弥补了傅立叶转换先天上的系统限制。混合两种方式之后，相较于单用一种方式的信号，能够得到更多的资讯提供判读及分析。