可除群

在群论中，一个可除群是一个满足以下条件的阿贝尔群 ${\displaystyle G}$：对每个正整数 ${\displaystyle n}$ 及元素 ${\displaystyle g\in <!--\; \in \; -->G}$，存在 ${\displaystyle h\in <!--\; \in \; -->G}$ 使得 ${\displaystyle nh=g}$。等价的表法是：${\displaystyle \mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n>0,nG=G}$。事实上，可除群恰好是 ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ 上的内射模，所以有时也称之为内射群。

令 ${\displaystyle G}$ 为可解群，则其挠子群 ${\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)}$ 亦可除。由于可解群是 ${\displaystyle \mathbb{Z}}$-内射模，${\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)}$ 是直和项，即：

商群 ${\displaystyle G/\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)}$ 亦可解，而且其中没有挠元，所以它是 ${\displaystyle \mathbb{Q}}$-上的向量空间：存在集合 ${\displaystyle I}$ 使得

挠子群的结构稍复杂，然而可以证明对所有素数 ${\displaystyle p}$，存在 ${\displaystyle I_p}$ 使得

其中 ${\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G){)}_p}$ 是 ${\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)}$ 是的 ${\displaystyle p}$-准素部分。于是：

一个环 ${\displaystyle R}$ 上的左可除模是满足 ${\displaystyle \mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}r\ne <!--\; \ne \; -->0\in <!--\; \in \; -->R,rM=M}$ 的模 ${\displaystyle M}$。可除群不外是可除 ${\displaystyle \mathbb{Z}}$-模。主理想域上的可除模恰好是内射模。