整数

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C {displaystyle mathbb {N} subseteq mathbb {Z} subseteq mathbb {Q} subseteq mathbb {R} subseteq mathbb {C} }正数 R + {displaystyle mathbb {R} ^{+}} 自然数 N {displaystyle mathbb {N} } 正整数 Z + {displaystyle mathbb {Z} ^{+}} 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 Q {displaystyle mathbb {Q} } 代数数 A {displaystyle mathbb {A} } 实数 R {displaystyle mathbb {R} } 复数 C {displaystyle mathbb {C} } 高斯整数 Z [ i ] {displaystyle mathbb {Z} }负数 R − {displaystyle mathbb {R} ^{-}} 整数 Z {displaystyle mathbb {Z} } 负整数 Z − {displaystyle mathbb {Z} ^{-}} 分数 单位分数 二进分数 规矩数 无理数 超越数 虚数 I {displaystyle mathbb {I} } 二次无理数 艾森斯坦整数 Z [ ω ] {displaystyle mathbb {Z} }二元数 四元数 H {displaystyle mathbb {H} } 八元数 O {displaystyle mathbb {O} } 十六元数 S {displaystyle mathbb {S} } 超实数 ∗ R {displaystyle ^{*}mathbb {R} } 大实数 上超实数双曲复数 双复数 复四元数 共四元数（英语：Dual quaternion） 超复数 超数 超现实数素数 P {displaystyle mathbb {P} } 可计算数 基数 阿列夫数 同余 整数数列 公称值规矩数 可定义数 序数 超限数 '"`UNIQ--templatestyles-00000015-QINU`"' p进数 数学常数圆周率 π = 3.141592653 … {displaystyle pi =3.141592653dots } 自然对数的底 e = 2.718281828 … {displaystyle e=2.718281828dots } 虚数单位 i = − 1 {displaystyle i={sqrt {-1}}} 无穷大 ∞ {displaystyle infty }其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)G2 F4 E6 E7 E8 劳仑兹群庞加莱群环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞)整数，是序列 { … , − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle {ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,ldots }} 中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。和自然数一样，整数也是一个可数的无限集合。这个集合在数学上通常表示粗体 Z {displaystyle Z} 或 Z {displaystyle mathbb {Z} } ，源于德语单词Zahlen（意为“数”）的首字母。在代数数论中，这些属于有理数的一般整数会被称为有理整数，用以和高斯整数等的概念加以区分。整数是一个集合，通常可以分为正整数、零（0）和负整数。正整数（符号：Z+或 Z + {displaystyle mathbb {Z} ^{+}} ）即大于0的整数，是正数与整数的交集。而负整数（符号： Z − {displaystyle Z^{-}} 或 Z − {displaystyle mathbb {Z} ^{-}} ）即小于0的整数，是负数与整数的交集。和整数一样，两者都是可数的无限集合。除正整数和负整数外，通常将0与正整数统称为非负整数（符号：Z+0或 Z 0 + {displaystyle mathbb {Z} _{0}^{+}} ），而将0与负整数统称为非正整数（符号：Z-0或 Z 0 − {displaystyle mathbb {Z} _{0}^{-}} ）。在数论中自然数 N {displaystyle mathbb {N} } 通常被视为与正整数等同，即1，2，3等，但在集合论和计算机科学中自然数则通常是指非负整数，即0，1，2等。下表给出任何整数 a , b , c {displaystyle a,b,c} 的加法和乘法的基本性质。全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。Z {displaystyle mathbb {Z} } 是一个加法循环群，因为任何整数都是若干个1或-1的和。1和-1是 Z {displaystyle mathbb {Z} } 仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与 ( Z , + ) {displaystyle (mathbb {Z} ,+)} 同构。Z {displaystyle mathbb {Z} } 是一个全序集，没有上界和下界，其序列如下：一个整数大于零则为正，小于零则为负。零既非正也非负。整数的序列在代数运算下是可以比较的，表示如下：整数环是一个欧几里德域。Z {displaystyle mathbb {Z} } 的基数（或势）是ℵ0，与 N {displaystyle mathbb {N} } 相同。这可以从 Z {displaystyle mathbb {Z} } 建立一双射函数到 N {displaystyle mathbb {N} } 来证明，亦即该函数要同时满足单射及满射的条件，例如：当该函数的定义域仅限于 Z {displaystyle mathbb {Z} } ，则证明 Z {displaystyle mathbb {Z} } 与 N {displaystyle mathbb {N} } 可建立一一对应的关系，即两集等势。