概率密度函数

✍ dations ◷ 2025-04-02 12:04:46 #概率密度函数
在数学中,连续型随机变量的概率密度函数(Probability density function)(在不至于混淆时可以简称为密度函数)是一个描述这个随机变量的输出值,在某个确定的取值点附近的可能性的函数。图中,横轴为随机变量的取值,纵轴为概率密度函数的值,而随机变量的取值落在某个区域内的概率为概率密度函数在这个区域上的积分。当概率密度函数存在的时候,累积分布函数是概率密度函数的积分。概率密度函数一般以大写“PDF”(Probability Density Function)标记。概率密度函数有时也被称为概率分布函数,但这种称法可能会和累积分布函数或概率质量函数混淆。对于一维实随机变量X,设它的累积分布函数是 F X ( x ) {displaystyle F_{X}(x)} 。如果存在可测函数 f X ( x ) {displaystyle f_{X}(x)} ,满足:那么X 是一个连续型随机变量,并且 f X ( x ) {displaystyle f_{X}(x)} 是它的概率密度函数。连续型随机变量的概率密度函数有如下性质:如果概率密度函数 f X ( x ) {displaystyle f_{X}(x)} 在一点 x {displaystyle x} 上连续,那么累积分布函数可导,并且它的导数: F X ′ ( x ) = f X ( x ) {displaystyle F_{X}^{prime }(x)=f_{X}(x)}由于随机变量X的取值 P [ a < X ≤ b ] {displaystyle mathbb {P} left} 只取决于概率密度函数的积分,所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。更准确来说,如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0(是一个零测集),那么这个函数也可以是X的概率密度函数。连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0。作为推论,连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是,概率但 { X = a } {displaystyle {X=a}} 并不是不可能事件。最简单的概率密度函数是均匀分布的密度函数。对于一个取值在区间 [ a , b ] {displaystyle } 上的均匀分布函数 I [ a , b ] {displaystyle mathbf {I} _{}} ,它的概率密度函数:也就是说,当x 不在区间 [ a , b ] {displaystyle } 上的时候,函数值等于0,而在区间 [ a , b ] {displaystyle } 上的时候,函数值等于 1 b − a {displaystyle scriptstyle {frac {1}{b-a}}} 。这个函数并不是完全的连续函数,但是是可积函数。正态分布是重要的概率分布。它的概率密度函数是:随着参数 μ {displaystyle mu } 和 σ {displaystyle sigma } 变化,概率分布也产生变化。随机变量X的n阶矩是X的n次方的期望值,即X的方差为更广泛的说,设 g {displaystyle g} 为一个有界连续函数,那么随机变量 g ( X ) {displaystyle g(X)} 的数学期望对概率密度函数作类似傅利叶变换可得特征函数。特征函数与概率密度函数有一对一的关系。因此,知道一个分布的特征函数就等同于知道一个分布的概率密度函数。

相关

  • 低氧症缺氧(hypoxia),即生物的组织或细胞不能获取足够的氧,或能获取但无法运用。缺氧可能是全身性的,也可能只有身体部分部位缺氧。缺氧多半是病理过程,不过正常人动脉内的氧气浓度也会
  • 鳃是一种器官,很多水生动物依靠它将溶解在水中的氧气吸收到血液中。这种呼吸方式被称为鳃呼吸。最近的研究表明,鳃的进化起初并非为了呼吸,而是用来调节体液平衡,避免脱水。鳃被
  • 最长寿命最长寿命(英语:maximum life span)是指一个生物群体中寿命最长的个体所达到的寿命长度。大多数物种细胞的分裂次数有一个上限,影响了生物寿命的长短。对于人类,这一上限被称为海
  • 二级结构二级结构(英语:Secondary structure)在生物化学及结构生物学中,是指一个生物大分子,如蛋白质及核酸(DNA或RNA),局部区段的三维通式。然而它并不描述任何特定的原子位置(在三级结构中
  • 人类蛋白质组计划人类蛋白质组计划(Human proteome project,缩写:HPP)是由人类蛋白质组组织(HUPO)协调的合作计划。其规定的目标是通过实验观察所有从人类基因组被翻译的序列产生的蛋白质。人
  • 凯伦·乌伦贝克凯伦·凯斯库拉·乌伦贝克(英语:Karen Keskulla Uhlenbeck,1942年8月24日-)是一位美国数学家。她是德克萨斯州大学奥斯汀分校的退休荣誉数学教授,在那里她担任Sid W. Richardson基
  • 巴士底日阅兵巴士底日阅兵(法语:Défilé militaire du 14 Juillet)是法国在每年7月14日(巴士底日)上午于巴黎举行的阅兵活动,开始于1880年。阅兵的起点是凯旋门,终点是协和广场。现在巴士底日
  • (CHsub3/sub)sub2/subSOsub4/sub硫酸二甲酯(DMS)是一个有机化合物,分子式写为(CH3O)2SO2、(CH3)2SO4或Me2SO4,可看作硫酸的二甲基酯。在有机合成中主要用作甲基化试剂。标准状态下,硫酸二甲酯为无色油状液体,带有
  • 东方基督教东方基督教(英语:Eastern Christianity)源自共同的基督宗教传统和教会,是发展于巴尔干半岛、东欧、西亚(小亚细亚)、东北非以及南印度的基督教派的统称,拥有数世纪的传承,与西欧所发
  • 柯尼希斯-克诺尔反应柯尼希斯-克诺尔反应(Koenigs–Knorr反应)是糖化学中的一个取代反应,即用糖基卤化物和醇反应,生成糖苷。它是一种最古老而简单的糖基化反应。反应名称取自Wilhelm Koenigs(1851-19