高过剩数

✍ dations ◷ 2025-11-28 16:47:19 #除数函数,整数数列

高过剩数（highly abundant number）是指一正整数．其除数函数（含本身的所有约数和）大于所有较小正整数的除数函数。

高过剩数及一些有类似特性的整数最早是由皮莱（英语：Subbayya Sivasankaranarayana Pillai）在1943年提出的，莱昂尼达斯·Alaoglu（英语：Alaoglu）及保罗·埃尔德什进行了一些相关的研究．列出了所有小于104的高过剩数，并证明小于整数的高过剩数个数至少和log2 成正比。他们也证明了7200是高过剩数中最大的幂数，也是其有奇数个约数的最大高过剩数。

自然数为高过剩数，当且仅当对于所有小于的自然数，下式恒成立：

其中σ为除数函数。

头几个高过剩数为：

以5为例，σ(5) = 5+1 = 6小于σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7，因此5不是高过剩数，而σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15大于所有较小正整数的除数函数，因此8是高过剩数。

虽然前8个阶乘的结果都是高过剩数，不过不是所有阶乘的结果均为高过剩数

但有数字较9!小，而除数函数比σ(9!)大

因此9!不是高过剩数。

Alaoglu及保罗·埃尔德什发现所有的超过剩数都是高过剩数，因此提出一个问题：是否存在着无限多个不是超过剩数的高过剩数。数学家尼可拉斯在1969年证实了上述的问题。

高过剩数和过剩数名称中都有“过剩数”一词，其中也有一些数字重复，但不是所有的高过剩数都是过剩数，前7个高过剩数都不是过剩数，也不是所有的过剩数都是高过剩数，例如数字40为过剩数，不是高过剩数。

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