高过剩数

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:22:31 #除数函数,整数数列

高过剩数(highly abundant number)是指一正整数.其除数函数(含本身的所有约数和)大于所有较小正整数的除数函数。

高过剩数及一些有类似特性的整数最早是由皮莱(英语:Subbayya Sivasankaranarayana Pillai)在1943年提出的,莱昂尼达斯·Alaoglu(英语:Alaoglu)及保罗·埃尔德什进行了一些相关的研究.列出了所有小于104的高过剩数,并证明小于整数的高过剩数个数至少和log2 成正比。他们也证明了7200是高过剩数中最大的幂数,也是其有奇数个约数的最大高过剩数。

自然数为高过剩数,当且仅当对于所有小于的自然数,下式恒成立:

其中σ为除数函数。

头几个高过剩数为:

以5为例,σ(5) = 5+1 = 6小于σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7,因此5不是高过剩数,而σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15大于所有较小正整数的除数函数,因此8是高过剩数。

虽然前8个阶乘的结果都是高过剩数,不过不是所有阶乘的结果均为高过剩数

但有数字较9!小,而除数函数比σ(9!)大

因此9!不是高过剩数。

Alaoglu及保罗·埃尔德什发现所有的超过剩数都是高过剩数,因此提出一个问题:是否存在着无限多个不是超过剩数的高过剩数。数学家尼可拉斯在1969年证实了上述的问题。

高过剩数和过剩数名称中都有“过剩数”一词,其中也有一些数字重复,但不是所有的高过剩数都是过剩数,前7个高过剩数都不是过剩数,也不是所有的过剩数都是高过剩数,例如数字40为过剩数,不是高过剩数。

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