随机程序的时频分析

✍ dations ◷ 2025-08-22 22:00:14 #信号处理

随机程序(random process)代表一讯号x(t)在任意时间点的值皆可视为一随机变数(random variable),我们无法知道一随机程序随时间变化的精确数值,只能借由他的期望值(mean)和自相关函数(autocorrelation)来了解它的形态。

若一随机程序的期望值为定值(m)且自相关函数只和时间差(τ=|t2-t1|)有关和绝对时间(t)无关,如下表示

E = m {\displaystyle E=m}

R x x ( t 1 , t 2 ) = R x x ( τ ) {\displaystyle R_{xx}(t_{1},t_{2})=R_{xx}(\tau )}

则工程上定义此随机程序为广义的稳态(wide sence stationary, WSS)随机程序。

时频分析为一种可以观测目标讯号任意时间的频谱分布的工具,其中一种分析方法为韦格纳分布。

W x ( t , f ) = x ( t + τ / 2 ) x ( t τ / 2 ) e j 2 π τ f d τ {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau }

由于韦格纳分布是利用自相关函数来取得时频分析,若目标讯号为一广义的稳态随机程序时,其时频图的期望值刚好可以利用到

R x x ( t 1 , t 2 ) = R x x ( τ ) {\displaystyle R_{xx}(t_{1},t_{2})=R_{xx}(\tau )}

最后得到结果为该广义的稳态随机程序的能量密度频谱(power density spectrum, PDS)

推导如下

E = E e j 2 π τ f d τ {\displaystyle E=\int _{-\infty }^{\infty }Ee^{-j2\pi \tau \,f}d\tau }

这结果在时频图上的显示就是能量密度频谱的值不会随着时间轴有所改变。

另一种常用的时频分析工具就是模棱函数(ambiguity function),和韦格纳分布的差别在于韦格纳分布是对τ做傅立叶转换,而模棱函数是对t做傅立叶转换。

广义的稳态随机程序的模棱函数会变成只有在η=0的时候才会有值,其余皆为零。

推导如下

E = E e j 2 π t η d t {\displaystyle E=\int _{-\infty }^{\infty }Ee^{-j2\pi t\eta }dt}

相关

  • 比哈尔邦比哈尔邦(印地语:बिहार,乌尔都语:بہار‎,拉丁字母转写:Bihar)是印度东北的一个邦,传说是佛教的起源地。除印地语、乌尔都语外,比哈尔语也是该邦的官方语言,此语言包含的方言
  • 太阳天文学太阳天文学是恒星天文学中研究太阳的分支。太阳天文学的主要分支是太阳物理学。太阳的直径大约是1,390,000公里,与最靠近它的邻居,半人马座的比邻星,相距4.22光年(3.99 x 1013
  • 热带地区热带,(英语:Tropics)的广义是指地球上南、北回归线(南、北纬23度26分)之间的地区的总称,但在气候方面一般会进一步区分出赤道热带和亚热带,无极昼极夜现象。热带有时从气候上定义,指
  • AgSbFsub6/sub六氟锑酸银是一种配合物,化学式为AgSbF6。可溶于水,具有潮解性。它在有机化学中可以用作催化剂。将焦锑酸钠和硝酸银溶于40%的氢氟酸溶液中,于30~50℃反应数小时后,在真空中浓缩,2
  • 一级方程式赛车一级方程式赛车(英语:Formula One,也叫Formula 1或者F1)是由国际汽车联盟举办的最高等级的赛车比赛。F1的正式名称为“国际汽车联合会世界一级方程式锦标赛”。名称中“方程式”
  • 法国政治法兰西第五共和国的宪法于1958年9月28日由法国民众全体公民投票通过。1958年10月4日制订的宪法决定了第五共和国的国家政体运作方式。此后宪法经历多次修订,增强了行政机关与
  • 女王 (电影)《女王》(英语:)是一部由斯蒂芬·弗里尔斯于2006年执导的电影,讲述英女王伊丽莎白二世(海伦·米伦饰演)在威尔士王妃戴安娜车祸逝世之后,与首相托尼·布莱尔(麦克尔·辛饰演)一段在幕
  • 荷兰裔美国人5,023,846 荷兰裔美国人,指具有荷兰(尼德兰)血统的美国人。根据2000年美国人口普查,超过500万美国人声称自己具有荷兰血统。荷兰裔美国人主要分布于密歇根州、加利福尼亚州、蒙
  • 李玖祖父:朝鲜高宗 祖母:纯献皇贵妃 外祖父:梨本宫守正王 外祖母:锅岛伊都子李玖(1931年12月29日-2005年7月16日),朝鲜王朝王族后裔,全州李氏家族领袖。他是朝鲜高宗的孙子、纯宗的侄儿,父
  • 艾毓初艾毓初(?年-1641年),字孩如,陕西米脂县人。明朝政治人物,崇祯辛未进士。官至河南参议。崇祯四年(1631年)辛未科进士。官河南内乡县知县,累迁河南右参议,分守南阳。崇祯十四年(1641年)十一