达布定理

在实分析中，达布定理（英语：Darboux's theorem）得名于让·加斯东·达布。达布定理说明所有的实导函数（是某个实值函数的导数的函数）都具有介值性质：任一个区间关于实导函数的值域仍是区间。即是说，若 为可导函数，则对任意区间I，(I) 仍为区间。

当函数 是一阶连续可导函数（1）时，由介值定理，达布定理显然成立。当导函数 不连续时，达布定理说明 仍具有介值性质。

19世纪时，大部分数学家认为介值定理已经可以刻画出连续函数。但在1875年，让·加斯东·达布证明这个想法是错误的，因为连续函数的导函数仍然具有介值性质，但不一定是连续函数。一个很常用的反例是函数：

其导数在0处并不连续。

达布定理等价于：设  : → R 为一个 上的实值可导函数，并在 上可导，那么 ${\displaystyle f{}^{\prime }}$ ，存在 属于 (,) 使得 ${\displaystyle f{}^{\prime }(x)=t}$() := () - ，则 ${\displaystyle g_{+}^{\prime }(a)>0>g_{-<!--\; -\; -->}^{\prime }(b)}$,] 上的一个零点即可。

由于 是 上的连续函数，由极值定理， 在 上达到极大值。由于${\displaystyle g_{+}^{\prime }(a)>0}$ 处取到。同理，由于 处取到。设 为取到极大值的点，这时，${\displaystyle g{}^{\prime }(x)=0}$。于是定理得证。