达布定理

✍ dations ◷ 2025-07-07 08:10:39 #实分析,微分学,微积分定理,连续映射

在实分析中,达布定理(英语:Darboux's theorem)得名于让·加斯东·达布。达布定理说明所有的实导函数(是某个实值函数的导数的函数)都具有介值性质:任一个区间关于实导函数的值域仍是区间。即是说,若 为可导函数,则对任意区间I,(I) 仍为区间。

当函数 是一阶连续可导函数(1)时,由介值定理,达布定理显然成立。当导函数 不连续时,达布定理说明 仍具有介值性质。

19世纪时,大部分数学家认为介值定理已经可以刻画出连续函数。但在1875年,让·加斯东·达布证明这个想法是错误的,因为连续函数的导函数仍然具有介值性质,但不一定是连续函数。一个很常用的反例是函数:

其导数在0处并不连续。

达布定理等价于:设  : → R 为一个 上的实值可导函数,并在 上可导,那么 f {\displaystyle f\,'} ,存在 属于 (,) 使得 f ( x ) = t {\displaystyle f\,'(x)=t} () := () - ,则 g + ( a ) > 0 > g ( b ) {\displaystyle g'_{+}(a)>0>g'_{-}(b)} ,] 上的一个零点即可。

由于 是 上的连续函数,由极值定理, 在 上达到极大值。由于 g + ( a ) > 0 {\displaystyle g'_{+}(a)>0} 处取到。同理,由于 g ( b ) < 0 {\displaystyle g'_{-}(b)<0} 处取到。设 为取到极大值的点,这时, g ( x ) = 0 {\displaystyle g\,'(x)=0} 。于是定理得证。

相关

  • 坐厕马桶,又称便桶、粪桶、恭桶、虎子、木马子等,是指承接粪便、尿溺的厕所用具。马桶的使用方式为坐式,与蹲坑式厕所(也称为蹲式马桶)相对。尿罐、尿壶、尿盆等则仅限于承接尿液。广
  • 浙江中医药大学900亩(600,000平方米) 400亩浙江中医药大学位于中国浙江杭州市的滨江区滨文路,前身是创办于1953年的浙江省中医进修学校。1959年成立浙江中医学院,2006年更名为浙江中医药大学
  • 康斯坦丁·卡拉西奥多里康斯坦丁·卡拉西奥多里(德语:Constantin Carathéodory,1873年9月13日-1950年2月2日),希腊数学家,长期居于德国。卡拉西奥多里1873年9月13日生于柏林,1902年到格丁根,在闵科夫斯基指
  • 亨德里克·穆勒奖亨德里克·穆勒奖 是荷兰皇家艺术与科学学院每两年颁发的一个奖项,创建于1991年,旨在奖励为行为和社会科学领域作出重大贡献的个人。该奖项以荷兰著名商人和外交官亨德里克·
  • 黄至筠黄至筠(1770年-1838年),又称黄应泰,字韵芬,又字个园。浙江人。籍贯浙江余姚人。乾隆三十五年(1770年)出生在赵州(今河北赵县),着籍扬州府甘泉县,幼以盐䇲名闻天下。性爱竹,《扬州画苑录》
  • 关仁山关仁山(1963年-),河北丰南人,满族,中国当代作家。曾获庄重文文学奖、第五届全国少数民族文学创作骏马奖、第三届《人民文学》优秀小说奖等奖项。
  • 赫斯拉赫斯拉(Hesla),是印度贾坎德邦Hazaribag县的一个城镇。总人口5860(2001年)。该地2001年总人口5860人,其中男性3108人,女性2752人;0—6岁人口721人,其中男387人,女334人;识字率78.29%,其
  • 段实段实(-1282年)是段兴智之弟,又叫段信苴日、段日。蒙古辖下的第二位大理总管。1253年,蒙古军南下侵大理,围攻国都羊苴咩城。其随段兴智出城投降,蒙古将军兀良哈台释而不杀,仍命段氏家
  • 杨守立杨守立(9世纪-892年1月15日),本名胡弘立,后被唐昭宗赐名李顺节,晚唐将领。左神策护军中尉、六军十二卫观军容使杨复恭养子,故随之姓杨。本是军中马骑官。一作杨守节。唐僖宗因躲避
  • 福尔摩斯小姐:失踪的侯爵 (电影)《福尔摩斯小姐:失踪的侯爵》(英语:)是一部2020年英美合拍的悬疑冒险喜剧片,改编自南希·史宾格(英语:Nancy Springer)创作的《福尔摩斯小妹探案系列》小说。故事主要描述夏洛克·福