完整系统

✍ dations ◷ 2025-07-27 11:36:34 #力学,经典力学,拉格朗日力学,哈密顿力学,物理学系统

在经典力学里,假若一个系统的所有的约束条件都是完整约束,则称此系统为完整系统(holonomic system)。完整约束以方程表达为

其中, x i {\displaystyle x_{i}} 是每一个粒子 P i {\displaystyle P_{i}} 之位置, t {\displaystyle t} 是时间。

假若一个约束条件不能够以上述方程表达,则称此约束条件为非完整约束。

假若一个系统有任何约束条件不是完整约束,则称此系统为非完整系统。

完整约束方程只跟位置、时间有关,跟速度无关。完整约束方程可以帮助消除相关的变量。假设变量 x d {\displaystyle x_{d}} 是完整约束函数 f i {\displaystyle f_{i}} 的一个参数,则可以将 x d {\displaystyle x_{d}} 从系统里所有的方程中消除。首先,必须求出 x d {\displaystyle x_{d}} 的函数 g i {\displaystyle g_{i}}

将函数 g i {\displaystyle g_{i}} 代入系统里所有提到 x d {\displaystyle x_{d}} 的方程,就可以消除相关变量 x d {\displaystyle x_{d}}

假设一个物理系统原本的自由度是 N {\displaystyle N} 。现在,新设定 h {\displaystyle h} 个完整约束作用于此系统。那么,这系统的自由度减少为 m = N h {\displaystyle m=N-h} 。可以使用 m {\displaystyle m} 个独立广义坐标 ( q 1 ,   q 2 ,   ,   q m ) {\displaystyle (q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m})} 来描述这系统的运动。广义坐标的转换方程为

有些时候,一个物理系统的某约束条件会以微分形式的方程来表示,而不是以上述函数形式。思考第 i {\displaystyle i} 个约束条件的微分形式的方程:

其中, c i j {\displaystyle c_{ij}} c i {\displaystyle c_{i}} 分别为微分 d q j {\displaystyle dq_{j}} d t {\displaystyle dt} 的系数。

假若此约束方程是可积分的,也就是说,存在有一个函数 f i ( q 1 ,   q 2 ,   q 3 ,   ,   q N ,   t ) = 0 {\displaystyle f_{i}(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ t)=0} 的全微分满足相等关系式

则此约束条件是完整约束;否则,此约束条件是非完整约束。请注意到,所有的完整约束和某些非完整约束都可以表示为微分形式的方程;但是,并不是所有的非完整约束都可以这样表示。跟广义速度有关的非完整约束就不能这样表示。所以,假若知道一个约束条件的微分形式的方程,这约束条件到底是完整约束,还是非完整约束,需要看其微分形式的方程是否可积分来决定。

为了要有条不紊地研究经典力学,必须有一个合理的分类制度。物理系统可以分类为完整系统与非完整系统。许多理论或方程成立的条件之一,就是系统里所有的约束都必须是完整约束。例如,假若一个物理系统是完整系统与单演系统,则拉格朗日方程成立的必需与足够的条件是哈密顿原理。

一个简单摆的摆锤遵守完整约束

其中, ( x ,   y ) {\displaystyle (x,\ y)} 是摆锤的位置, L {\displaystyle L} 是摆长。

刚体内部的粒子们遵守完整约束

其中, r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} , r j {\displaystyle \mathbf {r} _{j}} 分别是粒子 P i {\displaystyle P_{i}} P j {\displaystyle P_{j}} 的位置, L i j {\displaystyle L_{ij}} 是它们之间的距离。

相关

  • 2-甲基-2-丁醇2-甲基-2-丁醇,或称叔戊醇,学名结构式(CH3)2C(OH)CH2CH3。无色液体。易燃,燃烧时具有类似樟脑的气味。溶于8倍的水,水溶液对石蕊呈中性。与乙醇、乙醚、氯仿、苯、甘油和油类混
  • 异种《异种》(英语:Species),1995年在美国上映的科幻电影,由罗杰·唐纳森导演,本·金斯利、科华士·韦德加、娜塔莎·韩丝翠和迈克尔·马德森等人主演。犹他州的沙漠里有一间神秘的研
  • 赫兹古斯塔夫·路德维希·赫兹(德语:Gustav Ludwig Hertz,1887年7月22日-1975年10月30日),德国物理学家,量子力学的先驱,他是1925年诺贝尔物理学奖获得者,电磁波发现者海因里希·鲁道夫·
  • 汪堃仁汪堃仁(1912年4月23日-1993年9月18日),出生于湖北嘉鱼,籍贯安徽休宁,中国生理学家和细胞生物学家。1934年毕业于北京师范大学生物系。1949年获美国伊利诺伊大学医学院硕士学位。北
  • 慢性忧郁症持续性抑郁症(精神官能性忧郁症,Persistent Depressive Disorder (PDD))是一种慢性情绪失调,属于抑郁症范畴。持续时间比重度抑郁症长,但症状相对较轻。慢性抑郁症是一种轻度的抑
  • 塔夫脱威廉·霍华德·塔夫脱(William Howard Taft ,1857年9月15日-1930年3月8日)是第27任美国总统。他当过律师、美国首席大法官和战争部长。塔夫脱是美国历史上最胖的总统。塔夫脱出
  • 密西西比领地密西西比领地(英语:Mississippi Territory)是美国历史上的一个合并建制领土,存在于1798年4月7日至1817年12月10日之间,之后升格为美国第20个州密西西比州。在升格为州之前的9个月
  • 洛阳牡丹花会中国洛阳牡丹文化节是由中国文化部和河南省人民政府每年春季主办的以洛阳牡丹为主题的文化旅游类节会,其前身是洛阳牡丹花会,是中国四大名会之一。自1982年洛阳市政府将牡丹定
  • 赭鹅膏蕈伞凸面赭鹅膏(学名)是一种有毒的担子菌门真菌。它们分布在北美洲太平洋西北地区及加州植物区系省,菌根于橡树。子实体于春天长出,菌盖呈白色或赭色,中心褐色,蕈柄、菌环、菌褶及
  • Gift《Gift》(日语:Gift 〜ギフト〜)是由日本MOONSTONE于2005年5月27日所发售的恋爱冒险成人游戏。其Fan disc《Giftにじいろストーリーズ》于2006年1月27日发售。PS2及PSP游戏《Gi