完整系统

在经典力学里，假若一个系统的所有的约束条件都是完整约束，则称此系统为完整系统（holonomic system）。完整约束以方程表达为

其中，${\displaystyle x_i}$是每一个粒子${\displaystyle P_i}$之位置，${\displaystyle t}$是时间。

假若一个约束条件不能够以上述方程表达，则称此约束条件为非完整约束。

假若一个系统有任何约束条件不是完整约束，则称此系统为非完整系统。

完整约束方程只跟位置、时间有关，跟速度无关。完整约束方程可以帮助消除相关的变量。假设变量${\displaystyle x_d}$是完整约束函数${\displaystyle f_i}$的一个参数，则可以将${\displaystyle x_d}$从系统里所有的方程中消除。首先，必须求出${\displaystyle x_d}$的函数${\displaystyle g_i}$：

将函数${\displaystyle g_i}$代入系统里所有提到${\displaystyle x_d}$的方程，就可以消除相关变量${\displaystyle x_d}$。

假设一个物理系统原本的自由度是${\displaystyle N}$。现在，新设定${\displaystyle h}$个完整约束作用于此系统。那么，这系统的自由度减少为${\displaystyle m=N-<!--\; -\; -->h}$。可以使用${\displaystyle m}$个独立广义坐标${\displaystyle (q_1,q_2,\dots <!--\; \dots \; -->,q_m)}$来描述这系统的运动。广义坐标的转换方程为

有些时候，一个物理系统的某约束条件会以微分形式的方程来表示，而不是以上述函数形式。思考第${\displaystyle i}$个约束条件的微分形式的方程：

其中，${\displaystyle c_{ij}}$，${\displaystyle c_i}$分别为微分${\displaystyle d{q}_j}$与${\displaystyle dt}$的系数。

假若此约束方程是可积分的，也就是说，存在有一个函数${\displaystyle f_i(q_1,q_2,q_3,\dots <!--\; \dots \; -->,q_N,t)=0}$的全微分满足相等关系式

则此约束条件是完整约束；否则，此约束条件是非完整约束。请注意到，所有的完整约束和某些非完整约束都可以表示为微分形式的方程；但是，并不是所有的非完整约束都可以这样表示。跟广义速度有关的非完整约束就不能这样表示。所以，假若知道一个约束条件的微分形式的方程，这约束条件到底是完整约束，还是非完整约束，需要看其微分形式的方程是否可积分来决定。

为了要有条不紊地研究经典力学，必须有一个合理的分类制度。物理系统可以分类为完整系统与非完整系统。许多理论或方程成立的条件之一，就是系统里所有的约束都必须是完整约束。例如，假若一个物理系统是完整系统与单演系统，则拉格朗日方程成立的必需与足够的条件是哈密顿原理。

一个简单摆的摆锤遵守完整约束

其中，${\displaystyle (x,y)}$是摆锤的位置，${\displaystyle L}$是摆长。

刚体内部的粒子们遵守完整约束

其中，${\displaystyle {\mathbf{r}}_i}$ , ${\displaystyle {\mathbf{r}}_j}$分别是粒子${\displaystyle P_i}$与${\displaystyle P_j}$的位置，${\displaystyle L_{ij}}$是它们之间的距离。