广义超几何函数

✍ dations ◷ 2025-07-12 07:46:24 #阶乘与二项式主题,超几何函数,常微分方程,级数

广义超几何函数(generalized hypergeometric function),有时也称超几何函数,是一个用幂级数定义的函数,其中幂级数的系数由若干个升阶乘的积和商给出。下文中用“超几何函数”一词代指广义超几何函数,而用“高斯超几何函数”一词代指 p=2, q=1 时的广义超几何函数。

超几何函数是用幂级数定义的:

其中相邻两项的系数之比 βn+1/βn 是关于 n 的有理函数,分子和分母都可以表示成若干个一次函数的乘积。一般要求分子和分母的多项式的最高次系数均为 1,并取 β0=1,于是

于是用阶乘幂可以将 βn 表示为

一般用下面的记号来表示超几何函数:

ai 都不是非正整数(即负整数和 0)时,要求所有的 bi 都不是非正整数。当有至少一个 ai 是非正整数,且其中最大(绝对值最小)者为 k 时,超几何函数将截断为 -k 次多项式,这时允许 bi 中存在非正整数,但要求这些非正整数都小于 k。这都是为了保证在所有的 βn中,分母不为零。

下面讨论用来定义超几何函数的幂级数以零为中心的收敛半径。

当超几何函数截断为多项式时,显然收敛半径是无穷大。

除去这种特殊情况之外,用比值审敛法可知,当 p<q+1 时,收敛半径为无穷大,当 p=q+1 时,收敛半径为 1,剩下的情况收敛半径为 0(这时一般把超几何函数中对应的幂级数视作渐近级数,而函数本身则采用其它方式定义,如积分表达式)。

当级数的收敛半径为 1 时,级数在单位圆外不收敛,但仍然可以通过解析延拓来定义超几何函数的值。另外,此时在单位圆上的敛散性较为复杂,不能使用比值审敛法,必须使用高斯审敛法来判断,结果如下,令

复平面上的路径积分可以用来定义所有 ak 都不是非正整数时的广义超几何函数,包括上面说到的 p≥q+1 的情形。

下面只介绍 p+1>q 且级数不截断为多项式的情形(其它情形下,上面的幂级数定义已经是良好的定义,而下面的积分不收敛),这时超几何函数可以定义为:

p=q 且级数不截断为多项式时,超几何函数既可以用上面的积分来定义,也可以用超几何级数定义。可以证明,两种定义是等价的,且定义出来的超几何函数都是整函数;

p=q+1 且级数不截断为多项式时,超几何函数既可以用上面的积分来定义,也可以用超几何级数定义,但级数定义只在 |z|<1 时有效,在这个区域内,两种定义是等价的,上式提供了级数定义的一个解析延拓;

p>q+1 且级数不截断为多项式时,超几何函数只能通过积分表达式定义,对应的超几何级数只在 z =0 处收敛,其它情况均发散,它是积分定义的超几何函数在 z=0 处的渐近级数,即

由上面三个关系式可以得到超几何函数满足的微分方程:

就是指数函数。

称为合流超几何极限函数(confluent hypergeometric limit functions),与贝塞尔函数有密切关联。

1F1 就是(第一类)合流超几何函数,也称 Kummer 函数。

另一方面,2F0 (此函数的级数表达式不收敛,因此必须通过积分表达式定义)与第二类合流超几何函数(又称Tricomi 函数)有如下关系:

事实上,它们都可以表示为高斯超几何函数的极限,

类似地,pFq 都可以表示成 p+1FqpFq+1 的极限。

不完全伽玛函数与这两个函数有关联:

就是高斯超几何函数,一般又简称超几何函数。

s 为非负整数时,多重对数函数 Lis 可以用超几何函数表示:

相关

  • 类型论在最广泛的层面上,类型论(英语:type theory)是关注把实体分类到叫做类型的搜集中的数学和逻辑分支。在这种意义上,它与类型的形而上学概念有关。现代类型论在部分上是响应罗素悖
  • 寻水术寻水/探测术(Dowsing,音译:“道金”,又称“道金术”)是一种占卜法,用以寻找地下水,金属、矿石、宝石、石油或地脉,以及各种其他物品或物质,像是最近被称为地面辐射的Ley lines,而不使用
  • 胞外腺苷酸环化酶胞外腺苷酸环化酶(英语:Extracellular adenylate cyclase)百日咳杆菌(Bordetella pertussis)产生的腺苷酸环化酶。EC 1.1/2/3/4/5/6/7/8/9/10/11/12/13/14/15/16/17/18/19/20/21/
  • 珀塞尔亨利·珀塞尔(英语:Henry Purcell,1659年9月10日-1695年11月21日),巴洛克时期的英格兰作曲家,吸收法国与意大利音乐的特点,创作出独特的英国巴洛克音乐风格。他被认为是英国最伟大的
  • 欧亚水獭(L. lutra)欧亚水獭(学名:Lutra lutra),或简称水獭,是亚洲及欧洲的一种水獭,栖息在淡水环境。它们与北美水獭不同的是颈部较短、脸面较阔、耳朵相距较远及尾巴较长。欧亚水獭(Common otter)
  • 2-溴丁酸2-溴丁酸是一种有机溴化合物(英语:Organobromine compound),化学式为CH3CH2CHBrCOOH。它可由NBS和正丁酸在四氯化碳中由AIBN催化回流反应得到,,其它以NBS为溴化剂方法也有报道,如在
  • I WISH“I WISH”是日本的女子偶像组合“早安少女组。”的第10张单曲。于2000年9月6日由zetima发售。 3日 Next 100 Years(J-FRIENDS) | 17日(合算周: 2周) HAPPINESS -WINTER MIX-(GL
  • 坡标口岸坐标:22°56′30″N 106°32′1″E / 22.94167°N 106.53361°E / 22.94167; 106.53361坡标口岸(越南语:Cửa khẩu Pò Peo),是越南高平省重庆县的一个边境口岸。与该口岸相接的
  • 短体鱼属 Liu, 2003 (Liu, 2003)短体鱼属(学名:,或依其学名译为贵州短体鱼)为生活于三叠纪时期的小型卢加诺鱼科辐鳍鱼,全长约4公分。模式种为小短体鱼(,又称小贵州短体鱼),正模标本目前收藏
  • SOISOI全名为Silicon On Insulator,是指硅晶体管结构在绝缘体之上的意思,原理就是在硅晶体管之间,加入绝缘体物质,可使两者之间的寄生电容比原来的少上一倍。优点是可以较易提升时