广义超几何函数

广义超几何函数（generalized hypergeometric function），有时也称超几何函数，是一个用幂级数定义的函数，其中幂级数的系数由若干个升阶乘的积和商给出。下文中用“超几何函数”一词代指广义超几何函数，而用“高斯超几何函数”一词代指 p=2, q=1 时的广义超几何函数。

超几何函数是用幂级数定义的：

其中相邻两项的系数之比 β_n+1/β_n 是关于 n 的有理函数，分子和分母都可以表示成若干个一次函数的乘积。一般要求分子和分母的多项式的最高次系数均为 1，并取 β₀=1，于是

于是用阶乘幂可以将 β_n 表示为

一般用下面的记号来表示超几何函数：

当 a_i 都不是非正整数（即负整数和 0）时，要求所有的 b_i 都不是非正整数。当有至少一个 a_i 是非正整数，且其中最大（绝对值最小）者为 k 时，超几何函数将截断为 -k 次多项式，这时允许 b_i 中存在非正整数，但要求这些非正整数都小于 k。这都是为了保证在所有的 β_n中，分母不为零。

下面讨论用来定义超几何函数的幂级数以零为中心的收敛半径。

当超几何函数截断为多项式时，显然收敛半径是无穷大。

除去这种特殊情况之外，用比值审敛法可知，当 p<q+1 时，收敛半径为无穷大，当 p=q+1 时，收敛半径为 1，剩下的情况收敛半径为 0（这时一般把超几何函数中对应的幂级数视作渐近级数，而函数本身则采用其它方式定义，如积分表达式）。

当级数的收敛半径为 1 时，级数在单位圆外不收敛，但仍然可以通过解析延拓来定义超几何函数的值。另外，此时在单位圆上的敛散性较为复杂，不能使用比值审敛法，必须使用高斯审敛法来判断，结果如下，令

则

复平面上的路径积分可以用来定义所有 a_k 都不是非正整数时的广义超几何函数，包括上面说到的 p≥q+1 的情形。

下面只介绍 p+1>q 且级数不截断为多项式的情形（其它情形下，上面的幂级数定义已经是良好的定义，而下面的积分不收敛），这时超几何函数可以定义为：

当 p=q 且级数不截断为多项式时，超几何函数既可以用上面的积分来定义，也可以用超几何级数定义。可以证明，两种定义是等价的，且定义出来的超几何函数都是整函数；

当 p=q+1 且级数不截断为多项式时，超几何函数既可以用上面的积分来定义，也可以用超几何级数定义，但级数定义只在 |z|<1 时有效，在这个区域内，两种定义是等价的，上式提供了级数定义的一个解析延拓；

当 p>q+1 且级数不截断为多项式时，超几何函数只能通过积分表达式定义，对应的超几何级数只在 z =0 处收敛，其它情况均发散，它是积分定义的超几何函数在 z=0 处的渐近级数，即

由上面三个关系式可以得到超几何函数满足的微分方程：

就是指数函数。

称为合流超几何极限函数（confluent hypergeometric limit functions），与贝塞尔函数有密切关联。

₁F₁ 就是（第一类）合流超几何函数，也称 Kummer 函数。

另一方面，₂F₀ （此函数的级数表达式不收敛，因此必须通过积分表达式定义）与第二类合流超几何函数（又称Tricomi 函数）有如下关系：

事实上，它们都可以表示为高斯超几何函数的极限，

类似地，_pF_q 都可以表示成 _p+1F_q 或 _pF_q+1 的极限。

不完全伽玛函数与这两个函数有关联：

就是高斯超几何函数，一般又简称超几何函数。

当 s 为非负整数时，多重对数函数 Li_s 可以用超几何函数表示：