线性变换

向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积 · 内积 · 数量积 · 向量积矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 单位矩阵 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 （LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解） · 子式和余子式 · 拉普拉斯展开 ·线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化 ·在数学中，线性映射（有的书上将“线性变换”作为其同义词，有的则不然）是在两个向量空间（包括由函数构成的抽象的向量空间）之间的一种保持向量加法和标量乘法的特殊映射。线性映射从抽象代数角度看是向量空间的同态，从范畴论角度看是在给定的域上的向量空间所构成的范畴中的态射。“线性算子”也是与“线性映射”有关的概念。但是不同数学书籍上对“线性算子”的定义存在区别。在泛函分析中，“线性算子”一般被当做“线性映射”的同义词。而有的书则将“线性算子”定义为“线性映射”的自同态子类（详见下文）。为叙述方便，本条目在提及“线性算子”时，采用后一种定义，即将线性算子与线性映射区别开来。设 V {displaystyle V} 和 W {displaystyle W} 是在相同域 K {displaystyle K} 上的向量空间。法则 f : V → W {displaystyle f:Vrightarrow W} 被称为是线性映射，如果对于 V {displaystyle V} 中任何两个向量 x {displaystyle x} 和 y {displaystyle y} 与 K {displaystyle K} 中任何标量 a {displaystyle a} ，满足下列两个条件：这等价于要求对于任何向量 x 1 , … , x m {displaystyle x_{1},ldots ,x_{m}} 和标量 a 1 , … , a m {displaystyle a_{1},ldots ,a_{m}} ，方程成立。偶尔地， V {displaystyle V} 和 W {displaystyle W} 可被看作在不同域上的向量空间。那么必须指定哪些基础域要被用在“线性”的定义中。如果 V {displaystyle V} 和 W {displaystyle W} 被看作前面的域 K {displaystyle K} 上的空间，我们谈论的就是 K {displaystyle K} -线性映射。例如，复数的共轭是 R {displaystyle R} -线性映射 C → C {displaystyle Crightarrow C} ，而不是 C {displaystyle C} -线性映射。从向量空间 V {displaystyle V} 到数域K的线性映射有一个特别的名字，叫做“线性泛函”。线性泛函分析就是将空间维度增加到无穷维（包括不可数无穷维）的高等线性代数。线性泛函分析是泛函分析最成熟的分支，但泛函分析最早研究的是有关向量空间 V {displaystyle V} 上的实值函数（它们一般是非线性映射）的变分学问题。从定义立即得出 f ( 0 ) = 0 {displaystyle f(0)=0} 。因此线性映射有时叫做均匀线性映射(参见线性泛函)。“线性变换”和“线性算子”是与“线性映射”有关的名称。但不同作者会按个人喜好对“线性变换”和“线性算子”下不同的定义。这导致这2个概念与“线性映射”的关系比较乱，没有统一的标准。从向量空间 A {displaystyle A} 内的向量映射到同一个空间 A {displaystyle A} 内的线性映射是一类重要的线性映射，而且是一种自同态。是否给它一个特殊的术语作为名称就导致了不同作者做法的分歧。比如Axler的书将“线性映射”和“线性变换”当做同义词，但“线性算子”则用于定义这种线性映射中特殊的自同态映射。龚昇的书也将“线性算子”定义为线性的自同态映射。李尚志的书则将线性自同态映射称为“线性变换”。而泛函分析教材中一般将“线性变换”和“线性算子”都当做“线性映射”的别称，彼此不加区别。为避免词义混乱，本条目暂将“线性算子”视作在同一空间内的“线性映射”（即认为二者存在区别），并将“线性变换”当做“线性映射”的同义词。认定“线性算子”仅指从向量空间 A {displaystyle A} 内的向量映射到同一个空间 A {displaystyle A} 内的线性映射。即“线性算子”只是“线性映射”的其中一种。“线性算子”是从向量空间到其自身的线性映射(自同态)，而“线性映射”则只是一般的同态（不一定是自同态）。如果 V {displaystyle V} 和 W {displaystyle W} 是有限维的，并且在这些空间中有选择好的基，则从 V {displaystyle V} 到 W {displaystyle W} 的所有线性映射可以被表示为矩阵。反过来说，矩阵生成线性映射的例子：如果 A {displaystyle A} 是实数的 m × n {displaystyle mtimes n} 矩阵，则规定 f ( x ) = A x {displaystyle f(x)=Ax} 描述一个线性映射 R n → R m {displaystyle R^{n}rightarrow R^{m}} (参见欧几里得空间)。设 { v 1 , ⋯ , v n } {displaystyle {v_{1},cdots ,v_{n}}} 是 V {displaystyle V} 的一个基。则在 V {displaystyle V} 中所有向量 v {displaystyle v} 是唯一的由在的系数 c 1 , ⋯ , c n {displaystyle c_{1},cdots ,c_{n}} 确定的。如果 f : V → W {displaystyle f:Vrightarrow W} 是线性映射，这蕴涵了这个函数 f {displaystyle f} 是完全由的值确定的。现在设 { w 1 , … , w m } {displaystyle {w_{1},dots ,w_{m}}} 是 W {displaystyle W} 的基。则可以表示每个 f ( v j ) {displaystyle f(v_{j})} 的值为如果把这些值放置到 m × n {displaystyle mtimes n} 矩阵 M {displaystyle M} 中，则可以方便的使用它来计算 f {displaystyle f} 对在 V {displaystyle V} 中任何向量的值。如果我放置 c 1 , ⋯ , c n {displaystyle c_{1},cdots ,c_{n}} 的值到 n × 1 {displaystyle ntimes 1} 矩阵 C {displaystyle C} ，我们有 M C = f ( v ) {displaystyle MC=f(v)} 。一个单一的线性映射可以由很多矩阵表示。这是因为矩阵的元素的值依赖于选择的基。二维空间 R 2 {displaystyle R^{2}} 的线性变换的一些特殊情况有：两个线性映射的复合映射是线性的：如果 f : V → W {displaystyle f:Vrightarrow W} 和 g : W → Z {displaystyle g:Wrightarrow Z} 是线性的，则 g ∘ f : V → Z {displaystyle gcirc f:Vrightarrow Z} 也是线性的。若线性映射可逆，则该线性映射的逆也是线性映射。如果 f 1 : V → W {displaystyle f_{1}:Vrightarrow W} 和 f 2 : V → W {displaystyle f_{2}:Vrightarrow W} 是线性的，则它们的和 f 1 + f 2 {displaystyle f_{1}+f_{2}} 也是线性的(这是由 ( f 1 + f 2 ) ( x ) = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) {displaystyle left(f_{1}+f_{2}right)left(xright)=f_{1}left(xright)+f_{2}left(xright)} 定义的)。如果 f : V → W {displaystyle f:Vrightarrow W} 是线性的，而a是基础域K的一个元素，则定义自 (af)(x) = a (f(x))的映射af也是线性的。所以从 V {displaystyle V} 到 W {displaystyle W} 的线性映射的集合 L ( V , W ) {displaystyle Lleft(V,Wright)} 自身形成在 K {displaystyle K} 上的向量空间，有时指示为 H o m ( V , W ) {displaystyle mathrm {Hom} left(V,Wright)} 。进一步的说，在 V = W {displaystyle V=W} 的情况中，这个向量空间(指示为 E n d ( V ) {displaystyle mathrm {End} (V)} )是在映射复合下的结合代数，因为两个线性映射的复合再次是线性映射，所以映射的复合总是结合律的。给定有限维的情况，如果基已经选择好了，则线性映射的复合对应于矩阵乘法，线性映射的加法对应于矩阵加法，而线性映射与标量的乘法对应于矩阵与标量的乘法。自同态的线性映射在泛函分析和量子力学中都有很重要的地位。按前文约定，我们用“线性算子”来简称它。（注意泛函分析中所说的“线性算子”不一定是自同态(endomorphism)映射，但我们为了照顾不同书籍的差异以及叙述的方便，暂用“线性算子”来称呼这种自同态。）线性算子 f : V → V {displaystyle f:Vrightarrow V} 是 V {displaystyle V} 的自同态；所有这种自同态的集合 E n d ( V ) {displaystyle mathrm {End} (V)} 与如上定义的加法、复合和标量乘法一起形成一个结合代数，带有在域 K {displaystyle K} 上的单位元(特别是一个环)。这个代数的乘法单位元是恒等映射 i d : V → V {displaystyle mathrm {id} :Vrightarrow V} 。若 V {displaystyle V} 的自同态也刚好是同构则称之为自同构。两个自同构的复合再次是自同构，所以 V {displaystyle V} 的所有的自同构的集合形成一个群， V {displaystyle V} 的自同构群可表为 A u t ( V ) {displaystyle mathrm {Aut} (V)} 或 G L ( V ) {displaystyle mathrm {GL} (V)} 。因为自同构正好是那些在复合运算下拥有逆元的自同态，所以 A u t ( V ) {displaystyle mathrm {Aut} (V)} 也就是在环 E n d ( V ) {displaystyle mathrm {End} (V)} 中的可逆元群。如果 V {displaystyle V} 之维度 n {displaystyle n} 有限 E n d ( V ) {displaystyle mathrm {End} (V)} 同构于带有在 K {displaystyle K} 中元素的所有 n × n {displaystyle ntimes n} 矩阵构成的结合代数，且 V {displaystyle V} 的自同态群同构于带有在 K {displaystyle K} 中元素的所有 n × n {displaystyle ntimes n} 可逆矩阵构成的一般线性群 G L ( n , K ) {displaystyle mathrm {GL} (n,K)} 。如果 f : V → W {displaystyle f:Vrightarrow W} 是线性的，我们定义 f {displaystyle f} 的核和像（或称值域）为ker ⁡ ( f ) {displaystyle operatorname {ker } (f)} 是 V {displaystyle V} 的子空间，而 Im ⁡ ( f ) {displaystyle operatorname {Im} (f)} 是 W {displaystyle W} 的子空间。下面的叫做秩-零化度定理的维度公式经常是有用的：dim ⁡ ( I m ( f ) ) {displaystyle dim(mathrm {Im} (f))} 的数也叫做“ f {displaystyle f} 的秩”(rank)并写为 r k ( f ) {displaystyle mathrm {rk} (f)} ，有时写为 ρ ( f ) {displaystyle rho (f)} ； dim ⁡ ( ker ⁡ ( f ) ) {displaystyle dim(ker(f))} 的数也叫做“ f {displaystyle f} 的零化度”(nullity)并写为 v ( f ) {displaystyle v(f)} 。如果 V {displaystyle V} 和 W {displaystyle W} 是有限维的，基已经选择好并且 f {displaystyle f} 被表示为矩阵 A {displaystyle A} ，则 f {displaystyle f} 的秩和零化度分别等于矩阵 A {displaystyle A} 的秩和零化度。多重线性映射是线性映射最重要的推广，它也是格拉斯曼代数和张量分析的数学基础。其特例为双线性映射。