怀特海问题,是群论的一个重要问题,由美国数学家约翰·怀特海在1950年代提出。
给定环 上的模
上的模 ,投射模
,投射模 以及正合列
以及正合列 其中第一个箭头由单同态
其中第一个箭头由单同态 实现,记
实现,记
 ,
,
这里 是由
是由 自然导出的从
自然导出的从 到
到 的同态。如果
的同态。如果 是整数环
是整数环 ,则我们省去下标。注意任何一个阿贝尔群都可以看成一个整数模。
,则我们省去下标。注意任何一个阿贝尔群都可以看成一个整数模。
可以证明一个模 是投射模当且仅当对于所有的模
是投射模当且仅当对于所有的模
每一个自由模都是投射模。同调代数中一个经典定理说如果 是主理想整环,那么每一
是主理想整环,那么每一 自由模的子模也是自由的。特别地,整数环
自由模的子模也是自由的。特别地,整数环 上的所有自由模的子模都是自由的。因为每一个投射模都是自由模的子模,所以
上的所有自由模的子模都是自由的。因为每一个投射模都是自由模的子模,所以 上的投射模和自由模是一致的。
上的投射模和自由模是一致的。
怀特海问题是同调代数中一个基本问题,其表述如下:
给定阿贝尔群A, 当且仅当A是自由的。
当且仅当A是自由的。
因此怀特海问题可以看作 上自由模的一个判别法则。
上自由模的一个判别法则。
在ZFC下可以证明如果A是可数的阿贝尔群,那么怀特海问题是正确的. Shelah于1974年证明了如果 (即可构成公理成立),那么对每一个基数为
(即可构成公理成立),那么对每一个基数为 的阿贝尔群,怀特海问题是对的。同时,如果马丁公理成立并且连续统假设不成立,那么存在一个基数为
的阿贝尔群,怀特海问题是对的。同时,如果马丁公理成立并且连续统假设不成立,那么存在一个基数为 的阿贝尔群使得怀特海问题是错的。最终地,Shelah于1975年证明了如果
的阿贝尔群使得怀特海问题是错的。最终地,Shelah于1975年证明了如果 ,那么怀特海问题对于所有阿贝尔群成立。
,那么怀特海问题对于所有阿贝尔群成立。