怀特海问题

怀特海问题，是群论的一个重要问题，由美国数学家约翰·怀特海在1950年代提出。

给定环${\displaystyle \mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}$上的模${\displaystyle A,B,R}$，投射模${\displaystyle P}$以及正合列${\displaystyle R\to <!--\; \to \; -->P\twoheadrightarrow <!--\; \twoheadrightarrow \; -->A}$其中第一个箭头由单同态${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$实现，记

${\displaystyle {\mathrm{E}\mathrm{X}\mathrm{T}}_{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}(A,B)=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{R},\mathrm{B})/\mathrm{I}\mathrm{m}({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->})}$，

这里${\displaystyle {\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$是由${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$自然导出的从${\displaystyle \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(P,B)}$到${\displaystyle \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(R,B)}$的同态。如果${\displaystyle \mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}$是整数环${\displaystyle \mathbb{Z}}$，则我们省去下标。注意任何一个阿贝尔群都可以看成一个整数模。

可以证明一个模${\displaystyle A}$是投射模当且仅当对于所有的模${\displaystyle B,{\mathrm{E}\mathrm{X}\mathrm{T}}_{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}(A,B)=0}$

每一个自由模都是投射模。同调代数中一个经典定理说如果${\displaystyle \mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}$是主理想整环，那么每一${\displaystyle \mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}$自由模的子模也是自由的。特别地，整数环${\displaystyle \mathbb{Z}}$上的所有自由模的子模都是自由的。因为每一个投射模都是自由模的子模，所以${\displaystyle \mathbb{Z}}$上的投射模和自由模是一致的。

怀特海问题是同调代数中一个基本问题，其表述如下：

给定阿贝尔群A，${\displaystyle \mathrm{E}\mathrm{X}\mathrm{T}(A,\mathbb{Z})=0}$当且仅当A是自由的。

因此怀特海问题可以看作${\displaystyle \mathbb{Z}}$上自由模的一个判别法则。

在ZFC下可以证明如果A是可数的阿贝尔群，那么怀特海问题是正确的. Shelah于1974年证明了如果${\displaystyle V=L}$（即可构成公理成立），那么对每一个基数为${\displaystyle {\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_1}$的阿贝尔群，怀特海问题是对的。同时，如果马丁公理成立并且连续统假设不成立，那么存在一个基数为${\displaystyle {\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_1}$的阿贝尔群使得怀特海问题是错的。最终地，Shelah于1975年证明了如果${\displaystyle V=L}$，那么怀特海问题对于所有阿贝尔群成立。