拐点

拐点（Inflection point）或称反曲点，是一条连续曲线改变凹凸性的点，或者等价地说，是使切线穿越曲线的点。

决定曲线的拐点有助于理解曲线的外形，这在描绘曲线图形时特别有用。

若曲线图形在一点由凸转凹，或由凹转凸，则称此点为拐点。直观地说，拐点是使切线穿越曲线的点。

若该曲线图形的函数在某点的二阶导数为零或不存在，且二阶导数在该点两侧符号相反，该点即为函数的拐点。这是寻找拐点时最实用的方法之一。

拐点的必要条件：设${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle (a,b)}$内二阶可导，${\displaystyle x_0\in <!--\; \in \; -->(a,b)}$，若${\displaystyle (x_0,f(x_0))}$是曲线${\displaystyle y=f(x)}$的一个拐点，则${\displaystyle f^{″}(x_0)=0}$。比如，${\displaystyle f(x)=x^4}$，有${\displaystyle f^{″}(0)=0}$，但是0两侧全是凸，所以0不是函数${\displaystyle f(x)=x^4}$的拐点。

拐点的充分条件：设${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle (a,b)}$内二阶可导，${\displaystyle f^{″}(x_0)=0}$，若在${\displaystyle x_0}$两侧附近${\displaystyle f^{″}(x)}$异号，则点${\displaystyle (x_0,f(x_0))}$为曲线的拐点。否则（即${\displaystyle f^{″}(x_0)}$保持同号），${\displaystyle (x_0,f(x_0))}$不是拐点。

拐点可以根据${\displaystyle f^{\prime }(x)}$为零或不为零，进行分类：

例如：${\displaystyle y=x^3}$的点${\displaystyle (0,0)}$是一个鞍点，切线为${\displaystyle x}$轴，切线正好将图像分为两半。

平面参数曲线的拐点是使其曲率变号的点，此时曲率中心（居于曲线凹侧）从曲线的一侧换至另一侧。

双正则点是使得参数曲线的一阶与二阶微分（它们是向量）线性无关的点。在双正则点上，曲线既无拐点亦非直线。在非双正则点上曲率为零，但是不一定有变号。在寻找参数曲线的拐点时，我们通常先以微分找出非双正则点，继之研究其局部性状，以判定是否为拐点。

注：某些作者偏好将拐点定义为“使一阶与二阶微分平行的点”，在此定义下，切线不一定在该点穿越曲线本身。

设${\displaystyle C}$为域${\displaystyle F}$上的平面代数曲线，其拐点定义为一平滑点${\displaystyle P\in <!--\; \in \; -->C(F)}$，使得该点切线${\displaystyle L_P}$与${\displaystyle C}$在${\displaystyle P}$点的相交重数${\displaystyle \ge <!--\; \ge \; -->3}$。

注意到一条曲线与${\displaystyle C}$在${\displaystyle P}$点相切的充要条件是相交重数${\displaystyle \ge <!--\; \ge \; -->2}$。当${\displaystyle F=\mathbb{R}}$时，代数曲线的拐点定义等价于上节注记中的广义定义。