等价类

在数学中，假设在一个集合${\displaystyle X}$上定义一个等价关系（用${\displaystyle \sim <!--\; \sim \; -->}$来表示），则${\displaystyle X}$中的某个元素${\displaystyle a}$的等价类就是在${\displaystyle X}$中等价于${\displaystyle a}$的所有元素所形成的子集:

等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造新集合。在${\displaystyle X}$中的给定等价关系${\displaystyle \sim <!--\; \sim \; -->}$的所有等价类的集合表示为${\displaystyle X/\sim <!--\; \sim \; -->}$并叫做${\displaystyle X}$除以${\displaystyle \sim <!--\; \sim \; -->}$的商集。这种运算可以（实际上非常不正式的）被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是，如果${\displaystyle X}$是有限的并且等价类都是等势的，则${\displaystyle X/\sim <!--\; \sim \; -->}$的序是${\displaystyle X}$的序除以一个等价类的序的商。商集被认为是带有所有等价点都识别出来的集合${\displaystyle X}$。

对于任何等价关系，都有从${\displaystyle X}$到${\displaystyle X/\sim <!--\; \sim \; -->}$的一个规范投影映射${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$，给出为${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(x)=}$。这个映射总是满射的。在${\displaystyle X}$有某种额外结构的情况下，考虑保持这个结构的等价关系，接着称这个结构是良好定义的，而商集在自然方式下继承了这个结构而成为同一个范畴的对象；从${\displaystyle a}$到${\displaystyle }$的映射则是在这个范畴内的满态射。参见同余关系。

因为等价关系的${\displaystyle a}$在${\displaystyle }$中和任何两个等价类要么相等要么不相交的性质。得出X的所有等价类的集合形成${\displaystyle X}$的划分：所有${\displaystyle X}$的元素属于一且唯一的等价类。反过来，${\displaystyle X}$的所有划分也定义了在${\displaystyle X}$上等价关系。

它还得出等价关系的性质

如果${\displaystyle \sim <!--\; \sim \; -->}$是在${\displaystyle X}$上的等价关系，而${\displaystyle P(x)}$是${\displaystyle x}$的元素的一个性质，使得只要${\displaystyle x\sim <!--\; \sim \; -->y,P(x)}$为真如果${\displaystyle P(y)}$为真，则性质${\displaystyle P}$被称为良好定义的或在关系${\displaystyle \sim <!--\; \sim \; -->}$下“类恒定”的。常见特殊情况出现在${\displaystyle f}$是从${\displaystyle X}$到另一个集合${\displaystyle Y}$的时候；如果${\displaystyle x_1\sim <!--\; \sim \; -->x_2}$蕴涵${\displaystyle f(x_1)=f(x_2)}$则${\displaystyle f}$被称为在${\displaystyle \sim <!--\; \sim \; -->}$下恒定的类，或简单称为在${\displaystyle \sim <!--\; \sim \; -->}$下恒定。这出现在有限群的特征理论中。对函数${\displaystyle f}$的后者情况可以被表达为交换三角关系．参见不变量。