互易定理

在电磁学中，互易定理是电磁场理论的重要定理。由洛伦兹首先发现了一个定义在闭合曲面上的电磁场公式。后来Rayleigh-Carson又进一步把定理发展称为我们今天看到的形式，定义在一个体积分上。

假定有电磁场${\displaystyle }$ 和电磁场${\displaystyle }$ 都是由曲面内的电流元产生的辐射场。这里假定计算是在频域或者傅里叶变换域。我们在电磁场公式中省写了${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$。

洛伦兹发现如下形式的互易定理

${\displaystyle \text{∯<!-- ∯ -->}}$${\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}V}$${\displaystyle ({\mathbf{E}}_1\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}_2-<!--\; -\; -->{\mathbf{E}}_2\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}_1)\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathbf{A}=0}$

注意：上面强调两个电磁场都是辐射场，其实是说这两个场都必须是滞后波。如果其中一个是超前波，一个是滞后波上述曲面积分不为零。

假设${\displaystyle }$的电流元为：${\displaystyle {\mathbf{J}}_1}$ 假设${\displaystyle }$的电流元为：${\displaystyle {\mathbf{J}}_2}$

Rayleigh-Carson的贡献为，

${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_{V1}({\mathbf{E}}_2\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{J}}_1)dV={\int <!--\; \int \; -->}_{V2}({\mathbf{E}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{J}}_2)dV}$

上面公式反映在电路理论中就为，

${\displaystyle {\mathbf{V}}_2\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{I}}_1={\mathbf{V}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{I}}_2}$

其中${\displaystyle {\mathbf{V}}_2}$ 是电流 ${\displaystyle {\mathbf{I}}_2}$在电流${\displaystyle {\mathbf{I}}_1}$ 处产生的电动势。测量${\displaystyle {\mathbf{V}}_2}$ 时可将电流元${\displaystyle {\mathbf{I}}_1}$处电路开路。${\displaystyle {\mathbf{V}}_1}$ 是电流 ${\displaystyle {\mathbf{I}}_1}$在电流${\displaystyle {\mathbf{I}}_2}$ 处产生的电动势。测量${\displaystyle {\mathbf{V}}_1}$ 时可将电流元${\displaystyle {\mathbf{I}}_2}$处电路开路。

今天我们把如下一般形式的互易定量称为洛伦兹互易定理，

${\displaystyle \text{∯<!-- ∯ -->}}$${\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}V}$${\displaystyle ({\mathbf{E}}_1\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}_2-<!--\; -\; -->{\mathbf{E}}_2\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}_1)\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathbf{A}}$

${\displaystyle ={\int <!--\; \int \; -->}_V(-<!--\; -\; -->{\mathbf{E}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{J}}_2+{\mathbf{E}}_2\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{J}}_1)dVdt}$

在上述一般形式互易定理中考虑洛伦兹的贡献即可得到Rayleigh-Carson的贡献的贡献。互易定理的一般形式也常常被称为洛伦兹互易定理。

由麦克斯韦方程可直接推导互易定理。但是因为这样的推导比较繁琐，也不能体现电磁场定理之间的关系。此处用另一种思路来推导互易定理。从麦克斯韦方程出发可以推导坡印亭定理,坡印亭定理可以推导互能定理。麦克斯韦方程可以推导共轭变化，互能定理同共轭变换可以推导洛伦兹互易定理。

电磁场共轭变换${\displaystyle \mathbf{R}}$在时域定义如下（Jin Au Kong）：

${\displaystyle \mathbf{R}=}$

在频域定义如下，${\displaystyle \mathbf{R}=}$

其中${\displaystyle \mathbf{K}}$为磁流密度。共轭变换不是像傅里叶变换那样的数学变换,一个公式经过数学变换它的物理性质没有变化。共轭变换是一个物理变换。一个电磁场在共轭变换前满足麦克斯韦方程，则变换后仍满足麦克斯韦方程。共轭变换把滞后波变成超前波，把超前波变成滞后波。一个电磁场的定理经过共轭变换以后仍然是一个电磁场的定理，但是其物理性质会发生变化，因此会成为一个新的物理定理。

对互能定理两个电磁场之一，比如 ${\displaystyle {\mathbf{E}}_2,{\mathbf{H}}_2}$ 作共轭变换可得洛伦兹互易定理。反之，对洛伦兹互易定理两个电磁场之一，比如 ${\displaystyle {\mathbf{E}}_2,{\mathbf{H}}_2}$ 作共轭变换可得互能定理。尽管两个定理有上述紧密的联系，它们是两个完全独立的定理。洛伦兹互易定理用于处理两个电流源它们都产生滞后波的情况。互能定理用于一个源产生滞后波，另一个源产生超前波。

由此我们完成了麦克斯韦方程 到 坡印亭定理 到 互能定理 到 洛伦兹互易定理的证明。