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切比雪夫不等式
✍ dations ◷ 2025-07-11 17:41:53 #切比雪夫不等式
在概率论中,切比雪夫不等式(英语:Chebyshev's Inequality)显示了随机变量的“几乎所有”值都会“接近”平均。在20世纪30年代至40年代刊行的书中,其被称为比奈梅不等式(英语:Bienaymé Inequality)或比奈梅-切比雪夫不等式(英语:Bienaymé-Chebyshev Inequality)。切比雪夫不等式,对任何分布形状的数据都适用。可表示为:对于任意
b
>
0
{displaystyle b>0}
,有:这个不等式以数量化这方式来描述,究竟“几乎所有”是多少,“接近”又有多接近:……举例说,若一班有36个学生,而在一次考试中,平均分是80分,标准差是10分,我们便可得出结论:少于50分(与平均相差3个标准差以上)的人,数目不多于4个(=36*1/9)。
公式:
P
(
μ
−
k
σ
<
X
<
μ
+
k
σ
)
≥
1
−
1
k
2
{displaystyle P(mu -ksigma <X<mu +ksigma )geq 1-{frac {1}{k^{2}}}}设(X,Σ,μ)为一测度空间,f为定义在X上的广义实值可测函数。对于任意实数t > 0,一般而言,若g是非负广义实值可测函数,在f的定义域非降,则有上面的陈述,可透过以|f|取代f,再取如下定义而得:设
X
{displaystyle X}
为随机变量,期望值为
μ
{displaystyle mu }
,标准差为
σ
{displaystyle sigma }
。对于任何实数k>0,一般而言,切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子:这个分布的标准差
σ
=
1
/
k
{displaystyle sigma =1/k}
,
μ
=
0
{displaystyle mu =0}
。对于任意分布形态的数据,根据切比雪夫不等式,至少有
1
−
1
/
k
2
{displaystyle 1-1/k^{2}}
的数据落在k个标准差之内。其中k>1,但不一定是整数。当只求其中一边的值的时候,有Cantelli不等式:定义
A
t
:=
{
x
∈
X
∣
f
(
x
)
≥
t
}
{displaystyle ~A_{t}:={xin Xmid f(x)geq t}}
,设
1
A
t
{displaystyle 1_{A_{t}}}
为集
A
t
{displaystyle ~A_{t}}
的指示函数,有又可从马尔可夫不等式直接证明:马氏不等式说明对任意随机变量Y和正数a有
Pr
(
|
Y
|
>
a
)
≤
E
(
|
Y
|
)
/
a
{displaystyle Pr(|Y|>a)leq operatorname {E} (|Y|)/a}
。取
Y
=
(
X
−
μ
)
2
{displaystyle Y=(X-mu )^{2}}
及
a
=
(
k
σ
)
2
{displaystyle a=(ksigma )^{2}}
。亦可从概率论的原理和定义开始证明:
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