切比雪夫不等式

在概率论中，切比雪夫不等式（英语：Chebyshev's Inequality）显示了随机变量的“几乎所有”值都会“接近”平均。在20世纪30年代至40年代刊行的书中，其被称为比奈梅不等式（英语：Bienaymé Inequality）或比奈梅-切比雪夫不等式（英语：Bienaymé-Chebyshev Inequality）。切比雪夫不等式，对任何分布形状的数据都适用。可表示为：对于任意 b > 0 {displaystyle b>0} ，有：这个不等式以数量化这方式来描述，究竟“几乎所有”是多少，“接近”又有多接近：……举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分（与平均相差3个标准差以上）的人，数目不多于4个（=36*1/9）。 公式： P ( μ − k σ < X < μ + k σ ) ≥ 1 − 1 k 2 {displaystyle P(mu -ksigma <X<mu +ksigma )geq 1-{frac {1}{k^{2}}}}设(X,Σ,μ)为一测度空间，f为定义在X上的广义实值可测函数。对于任意实数t > 0，一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得：设 X {displaystyle X} 为随机变量，期望值为 μ {displaystyle mu } ，标准差为 σ {displaystyle sigma } 。对于任何实数k>0，一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子：这个分布的标准差 σ = 1 / k {displaystyle sigma =1/k} ， μ = 0 {displaystyle mu =0} 。对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有 1 − 1 / k 2 {displaystyle 1-1/k^{2}} 的数据落在k个标准差之内。其中k>1，但不一定是整数。当只求其中一边的值的时候，有Cantelli不等式：定义   A t := { x ∈ X ∣ f ( x ) ≥ t } {displaystyle ~A_{t}:={xin Xmid f(x)geq t}} ，设 1 A t {displaystyle 1_{A_{t}}} 为集   A t {displaystyle ~A_{t}} 的指示函数，有又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变量Y和正数a有 Pr ( | Y | > a ) ≤ E ⁡ ( | Y | ) / a {displaystyle Pr(|Y|>a)leq operatorname {E} (|Y|)/a} 。取 Y = ( X − μ ) 2 {displaystyle Y=(X-mu )^{2}} 及 a = ( k σ ) 2 {displaystyle a=(ksigma )^{2}} 。亦可从概率论的原理和定义开始证明：