切比雪夫不等式

✍ dations ◷ 2025-04-03 11:29:30 #切比雪夫不等式
在概率论中,切比雪夫不等式(英语:Chebyshev's Inequality)显示了随机变量的“几乎所有”值都会“接近”平均。在20世纪30年代至40年代刊行的书中,其被称为比奈梅不等式(英语:Bienaymé Inequality)或比奈梅-切比雪夫不等式(英语:Bienaymé-Chebyshev Inequality)。切比雪夫不等式,对任何分布形状的数据都适用。可表示为:对于任意 b > 0 {displaystyle b>0} ,有:这个不等式以数量化这方式来描述,究竟“几乎所有”是多少,“接近”又有多接近:……举例说,若一班有36个学生,而在一次考试中,平均分是80分,标准差是10分,我们便可得出结论:少于50分(与平均相差3个标准差以上)的人,数目不多于4个(=36*1/9)。 公式: P ( μ − k σ < X < μ + k σ ) ≥ 1 − 1 k 2 {displaystyle P(mu -ksigma <X<mu +ksigma )geq 1-{frac {1}{k^{2}}}}设(X,Σ,μ)为一测度空间,f为定义在X上的广义实值可测函数。对于任意实数t > 0,一般而言,若g是非负广义实值可测函数,在f的定义域非降,则有上面的陈述,可透过以|f|取代f,再取如下定义而得:设 X {displaystyle X} 为随机变量,期望值为 μ {displaystyle mu } ,标准差为 σ {displaystyle sigma } 。对于任何实数k>0,一般而言,切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子:这个分布的标准差 σ = 1 / k {displaystyle sigma =1/k} , μ = 0 {displaystyle mu =0} 。对于任意分布形态的数据,根据切比雪夫不等式,至少有 1 − 1 / k 2 {displaystyle 1-1/k^{2}} 的数据落在k个标准差之内。其中k>1,但不一定是整数。当只求其中一边的值的时候,有Cantelli不等式:定义   A t := { x ∈ X ∣ f ( x ) ≥ t } {displaystyle ~A_{t}:={xin Xmid f(x)geq t}} ,设 1 A t {displaystyle 1_{A_{t}}} 为集   A t {displaystyle ~A_{t}} 的指示函数,有又可从马尔可夫不等式直接证明:马氏不等式说明对任意随机变量Y和正数a有 Pr ( | Y | > a ) ≤ E ⁡ ( | Y | ) / a {displaystyle Pr(|Y|>a)leq operatorname {E} (|Y|)/a} 。取 Y = ( X − μ ) 2 {displaystyle Y=(X-mu )^{2}} 及 a = ( k σ ) 2 {displaystyle a=(ksigma )^{2}} 。亦可从概率论的原理和定义开始证明:

相关

  • 淋巴管平滑肌增生淋巴管平滑肌增生(英文:Lymphangioleiomyomatosis,通称:LAM),或称淋巴管平滑肌瘤、肺淋巴管肌瘤,是一种罕见、进行性、系统性疾病,通常发展为囊肿导致的肺功能丧失。LAM主要影响女性
  • 大都市区大都市带(英语:megalopolis,亦作megapolis、megaregion或supercity),又译大都市区,通指大致相邻的都会区的链,它们可能在某种程度上分离,也可能连成一片连续的城市区域。中文的城市
  • MSH黑色素细胞刺激素(melanocyte-stimulating hormones, melanotropins, intermedins,简称 MSH)是一种神经肽,属于肽类激素。具有α-黑色素细胞刺激素(α-MSH)、β-黑色素细胞刺激素(
  • 索非亚索非亚(保加利亚语:София,转写:Sofiya, IPA: .mw-parser-output .IPA{font-family:"Charis SIL","Doulos SIL","Linux Libertine","Segoe UI","Lucida Sans Unicode","Code
  • 紫水玉簪纤草(学名:Burmannia itoana),又名紫水玉簪,为水玉簪科水玉簪属的植物。分布于台湾岛、日本以及中国大陆的广西、广东等地,多生长于林下,目前尚未由人工引种栽培。
  • 黄酒黄酒,一种酿造米酒,是中国酒的两大主流之一,是以稻米为原料酿制成的粮食酒。不同于俗称白酒的烧酒,黄酒没有经过蒸馏,酒精含量低于20%,因色泽呈黄色而得名。原产中国浙江、湖北房
  • 雾月政变雾月政变是西哀士连同拿破仑、富歇和塔列朗谋画的夺权计划。西哀士与拿破仑结盟,共同策划政变,并在共和8年雾月18∼19日(1799年11月9日~11月10日)推动政变,迫使督政辞职,驱散立法议
  • 医疗体系德国 拥有一个覆盖全民 多方参与的医疗系统. 德国的医疗保险主要有两种: 一种是"法定医疗保险" (Gesetzliche Krankenversicherung) 也叫疾病基金, 第二种是 "私人医疗保险" (
  • 物恋物恋(Object sexuality)是一种对于特定非生命物体的性癖好,指对事物产生的身体吸引或爱慕情绪。有一些恋物者信仰泛灵论,相信所爱慕的物体具有灵魂、智力、情感,甚至能够沟通。直
  • 恋尿布恋尿布(英语:diaper fetishism或nappy fetishism)是指在生理上并无排泄上的疾病问题或障碍,却有使用尿布的需求或习惯的现象。现今社会此称现象为恋尿布癖亦或称为尿布主义(Diape