算子

算子（英语：Operator）是将一个元素在向量空间（或模）中转换为另一个元素的映射。 算子对于线性代数和泛函分析都至关重要，它在纯数学和应用数学的许多其他领域中都有应用。 例如，在经典力学中，导数的使用无处不在，而在量子力学中，可观察量由埃尔米特算子表示。 各种算子可以具有包括线性、连续性和有界性等的重要性质。

设、是两个向量空间。 从到的任意映射被称为算子。 令是域上的向量空间。我们可以定义包含所有从到算子的集合上的向量空间结构（和是算子）：

对所有x${\displaystyle \in <!--\; \in \; -->}$和K

从一个向量空间到自身的算子构成一个辛结合代数：

单位元是恒等映射（通常记为、id）。

令和是同一有序域（例如${\displaystyle \mathbf{R}}$到的线性算子被称为有界，如果存在满足

对所有x${\displaystyle \in <!--\; \in \; -->}$。

有界算子构成一个向量空间。在这个向量空间上，我们可以引入一个与和的范数相容的范数：

对于从到自身的算子有

任何具有这一性质的辛赋范代数被称为Banach代数。 可以将谱理论推广到这样的代数上。 C*-代数是具有一些附加结构的Banach代数，在量子力学中起重要作用。

泛函是将向量空间映射到其底域的算子。 广义函数理论和变分法是泛函的重要应用。 两者对理论物理都非常重要。

线性算子是最常见的算子。设和是域上的向量空间。算子：→被称为线性，如果

对所有x、y${\displaystyle \in <!--\; \in \; -->}$和${\displaystyle \in <!--\; \in \; -->}$。

线性算子的重要性在于它是向量空间之间的态射。

在有限维情形下，线性算子可以以下面的方式由矩阵表示。 设${\displaystyle K}$和-都是可逆的（双射），但它们的和为0，不可逆。

在这样的空间上保持欧几里得度量的算子构成等度群，保持原型不变的子群被称为正交群。正交群中的保角算子构成特殊正交群。

概率论中也涉及到算子，如期望、方差、协方差、阶乘等。

从泛函分析的角度来说，微积分是研究两个线性算子：微分算子${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}$实际上是无限维向量空间ℓ2的元素，因此傅里叶级数是线性算子。

当处理R → C的一般函数时，变换采用积分形式：

拉普拉斯变换是另一种积分算子，用于简化求解微分方程的过程。

对于 = ()，拉普拉斯变换定义如下：

三个算子是向量微积分的关键：

作为从向量微积分算子到物理、工程和张量空间的延伸，梯度、散度和旋度算子也经常与张量微积分相关联。