同构基本定理

同构基本定理或称同态基本定理，包含三个定理，在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。

同构基本定理最早由埃米·诺特（Emmy Noether）在她于1927在德国数学期刊（Mathematische Annalen）发表的论文中明确阐述。

我们首先叙述群论中的同态基本定理，他们的形式相对简单，却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。

给定一个群同态 ${\displaystyle f:G\to <!--\; \to \; -->G^{\prime }}$和是两个代数结构，是到的态射，则等价关系${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$当且仅当 是上的一个同余类，并且${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$的像（的子代数）。

设是的子代数，${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$上的同余类。令${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$种元素的同余类的集合，它是${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$ × 上的部分。那么${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$上的同余类，并且${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_B}$是一个代数结构，${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$上的两个同余关系，${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}$${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}$当且仅当与关于 ${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$表示所在的${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}$${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}$${\displaystyle \mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}}$。