单群

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G₂ F₄E₆ E₇E₈
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

数学上的单群（英语：Simple group）是指没有非平凡正规子群的群。任意一个群如果不是单群，都可以作进一步分解而得到一个非平凡正规子群及对应的商群。这个过程可以一直做下去。对于有限群，若尔当-赫尔德定理表明，这个分解过程可以得到该群的唯一的合成列（最多相差一个置换）。在2008年完成的有限单群分类工作是数学史上一个重要的里程碑。

设 ${\displaystyle (G,\ast <!--\; \ast \; -->)}$ 和 。有限表现无挠(torsion-free)的无限单群被伯格-莫泽什(Burger-Mozes)构建。

到目前为止，未有对一般单群进行分类的方法。

有限单群是很重要的，因为在一定意义上，它们是所有有限群的“基本组成部分”，有点类似于素数是整数的基本组成部分。

法伊特-汤普森定理声称，所有的奇数阶群都是可解群。 因此，除素数阶循环群外，所有有限单群的阶都是偶数。

西罗测试：设n为一正合数，p是它的一个素因子。 若在n的所有约数中只有 1 模p同余于 1，则不存在阶为n的单群。

证明：如n为一素数幂，则阶数为n的群有非平凡的中心，因而不是单群。若n不是素数幂，则阶数为n的群的每一个西罗子群都是真子群，由西罗第三定理可知， 阶数为n的群的西罗p-子群的个数模p同余于1且为n的约数。但由上面的假设，这样的数只有1，这表明该群只有一个西罗p-子群，因此，根据西罗定理，该西罗子群是正规子群。根据上面的讨论，它又是一个真子群，从而它是阶数为n的群的一个非平凡正规子群，所以阶数为n的群不是单群。

另一个证明一个群不是单群的方法是利用同态映射，因为对于一个群${\displaystyle G}$而言，其子群${\displaystyle H}$是正规子群，当且仅当${\displaystyle H}$是某个关于${\displaystyle G}$的同态映射的核。

“单群”之“单”在于它们不能再化约为较容易处理的群，因为正规子群 ${\displaystyle H}$ 可以对将 ${\displaystyle G}$ 的一部分研究化约为对商群 ${\displaystyle G/H}$ 与 ${\displaystyle H}$ 的研究，而对单群无法行此化约。

有限单群之于有限群论，一如素数之于整数论；它们可以被视为有限群的基本构件。