黎曼ζ函数

黎曼ζ函数 ζ() 的定义如下：设一复数 使得 Re() > 1，则定义：

它亦可以用积分定义：

在区域 { : Re() > 1} 上，此无穷级数收敛并为一全纯函数。欧拉在1740年考虑过 为正整数的情况，后来切比雪夫拓展到 > 1。波恩哈德·黎曼认识到：ζ函数可以通过解析延拓，把定义域扩展到几乎整个复数域上的全纯函数 ζ()。这也是黎曼猜想所研究的函数。

虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关，它也出现在应用统计学（参看齐夫定律和齐夫-曼德尔布罗特定律（英语：Zipf–Mandelbrot law））、物理，以及调音的数学理论中。

ζ函数最早出现于1350年左右，当时的尼克尔·奥里斯姆发现了调和级数发散，即
${\displaystyle \mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$) > 1)
${\displaystyle \mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(-<!--\; -\; -->1)=1+2+3+4+5+...=-<!--\; -\; -->\frac{1}{12}}$的无穷乘积，被称为欧拉乘积。这是几何级数的公式和算术基本定理的一个结果。
如果对上式取对数，则可得到

将其中的 ${\displaystyle \log <!--\; \; -->(1-<!--\; -\; -->t)}$)乘以${\displaystyle \begin{array}{c}{x}^{-<!--\; -\; -->s-<!--\; -\; -->1}\end{array}}$成立。这里，Γ表示Γ函数。这个公式原来用来构造解析连续性。在 = 1，ζ函数有一个简单极点其留数为1。上述方程中有sin函数，${\displaystyle \sin <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}s}{2}\right)}$ = 2，这些位置是可能的零点，但s为正偶数时，${\displaystyle \sin <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}s}{2}\right)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(1-<!--\; -\; -->s)}$），对于偶整数，使用公式

其中₂是伯努利数。从这个，我们可以看到ζ(2) = π2/6, ζ(4) = π4/90, ζ(6) = π6/945等等。（OEIS中的序列A046988/A002432）。这些给出了著名的π的无穷级数。奇整数的情况没有这么简单。拉马努金在这上面做了很多了不起的工作。${\displaystyle s}$是白努利数。

因为 ₂₊₁ =0，故ζ函数在负偶整数点的值为零。

临界线上的数值计算可以通过黎曼-西格尔公式完成。
与之相关的，林德勒夫猜想（英语：Lindelöf hypothesis）：对于任意给定的实数${\displaystyle \begin{array}{c}\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}>0\end{array}}$，