黎曼ζ函数

✍ dations ◷ 2025-07-11 16:16:40 #复分析,解析数论,特殊函数,伯恩哈德·黎曼

黎曼ζ函数 ζ() 的定义如下:设一复数 使得 Re() > 1,则定义:

它亦可以用积分定义:

在区域 { : Re() > 1} 上,此无穷级数收敛并为一全纯函数。欧拉在1740年考虑过 为正整数的情况,后来切比雪夫拓展到 > 1。波恩哈德·黎曼认识到:ζ函数可以通过解析延拓,把定义域扩展到几乎整个复数域上的全纯函数 ζ()。这也是黎曼猜想所研究的函数。

虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关,它也出现在应用统计学(参看齐夫定律和齐夫-曼德尔布罗特定律(英语:Zipf–Mandelbrot law))、物理,以及调音的数学理论中。

ζ函数最早出现于1350年左右,当时的尼克尔·奥里斯姆发现了调和级数发散,即
ζ ( 1 ) = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + . . . {\displaystyle \zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+...\to \infty } ) > 1)
ζ ( 1 ) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . = 1 12 {\displaystyle \zeta (-1)=1+2+3+4+5+...=-{\frac {1}{12}}} 的无穷乘积,被称为欧拉乘积。这是几何级数的公式和算术基本定理的一个结果。
如果对上式取对数,则可得到



将其中的 log ( 1 t ) {\displaystyle \log(1-t)} )乘以 x s 1 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}x^{-s-1}\end{smallmatrix}}} 成立。这里,Γ表示Γ函数。这个公式原来用来构造解析连续性。在 = 1,ζ函数有一个简单极点其留数为1。上述方程中有sin函数, sin ( π s 2 ) {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)}  = 2,这些位置是可能的零点,但s为正偶数时, sin ( π s 2 ) Γ ( 1 s ) {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)} ),对于偶整数,使用公式

其中2是伯努利数。从这个,我们可以看到ζ(2) = π2/6, ζ(4) = π4/90, ζ(6) = π6/945等等。(OEIS中的序列A046988/A002432)。这些给出了著名的π的无穷级数。奇整数的情况没有这么简单。拉马努金在这上面做了很多了不起的工作。 s {\displaystyle s\,} 是白努利数。

因为 2+1 =0,故ζ函数在负偶整数点的值为零。

临界线上的数值计算可以通过黎曼-西格尔公式完成。
与之相关的,林德勒夫猜想(英语:Lindelöf hypothesis):对于任意给定的实数 ϵ > 0 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\epsilon >0\end{smallmatrix}}}

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