高斯定律

高斯定律（Gauss' law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系：此方程是卡尔·高斯在1835年提出的，但直到1867年才发布。高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由反平方定律决定的物理量，例如引力或者辐照度。参看散度定理。采用国际单位制，对于空间内的任意体积 V {displaystyle mathbb {V} } ，其表面 A {displaystyle mathbb {A} } ，真空中的高斯定律的积分形式可以用方程表达为其中， E {displaystyle mathbf {E} } 为电场， d a ′ {displaystyle dmathbf {a} '} 为闭合曲面 A {displaystyle mathbb {A} } 的微分面积，由曲面向外定义为其方向， Q {displaystyle Q} 是在体积 V {displaystyle mathbb {V} } 内的总电荷数量。给予空间的某个区域内，任意位置的电场。原则上，应用高斯定律，可以很容易地计算出电荷的分布。只要积分电场于任意区域的表面，再乘以真空电容率，就可以得到那区域内的电荷数量。但是，更常遇到的是逆反问题。给予电荷的分布，求算在某位置的电场。这问题比较难解析。虽然知道穿过某一个闭合曲面的电通量，这资料仍旧不足以解析问题。在闭合曲面任意位置的电场可能会是非常的复杂。假若，问题本身显示出某种对称性，促使在闭合曲面位置的电场大小变得均匀。那么，就可以借着这均匀性来计算电场。像圆柱对称、平面对称、球对称等等，这些空间的对称性，都能帮助高斯定律来解析问题。若想知道怎样利用这些对称性来计算电场，请参阅高斯曲面（Gaussian surface）。高斯定律的方程的微分形式为其中 ρ {displaystyle rho } 为体电荷密度， ϵ 0 {displaystyle epsilon _{0}} 为真空电容率。在数学里，高斯定律的微分形式等价于其积分形式。这等价关系可以用散度定理来证明。自由电荷是自由移动，不被束缚于原子或分子内的电荷；而束缚电荷则是束缚于原子或分子内的电荷。当遇到涉及电介质的问题时，才需要考虑到束缚电荷所产生的效应。当电介质被置入于外电场时，电介质内的束缚电荷会被外电场影响，虽然仍旧束缚于其微观区域（原子或分子），但会做微小位移。所有这些微小位移的贡献造成了宏观的电荷分布的改变。虽然微观而言，不论是自由电荷，还是束缚电荷，本质上都是电荷。实际而言，对于某些案例，使用自由电荷的概念可以简化问题的解析。但有时候，由于问题比较复杂，缺乏对称性，必需采用其它方法来解析问题。对于空间内的任意体积 V {displaystyle mathbb {V} } ，其表面 A {displaystyle mathbb {A} } ，这个高斯定律表述，可以用积分形式的方程表达为其中， D {displaystyle mathbf {D} } 为电位移， d a ′ {displaystyle dmathbf {a} '} 为闭合曲面 A {displaystyle mathbb {A} } 的微分面积，由曲面向外定义为其方向， Q f r e e {displaystyle Q_{mathrm {free} }} 是在体积 V {displaystyle mathbb {V} } 内的自由电荷数量。只涉及自由电荷，这个高斯定律表述的微分形式可以表达为其中， ρ f r e e {displaystyle rho _{mathrm {free} }} 是自由电荷密度，完全不包括束缚电荷。请注意，在某种状况下，虽然区域内可能没有自由电荷， ρ f r e e = 0 {displaystyle rho _{mathrm {free} }=0} 。但是，这并不表示电位移等于 0 。因为，其中， P {displaystyle mathbf {P} } 是电极化强度。取旋度于方程的两边，所以，电位移很可能不等于 0 。最典型的例子是永电体。在数学里，高斯定律的微分形式等价于其积分形式。这等价关系可以用散度定理来证明。等价于高斯定律对于自由电荷的方程请注意，这里只处理微分形式，不处理积分形式。这已达成足够条件。因为，根据散度定理，两种高斯定律的方程，其微分形式都分别等价于积分形式。电势移 D {displaystyle mathbf {D} } 的定义式为其中， P {displaystyle mathbf {P} } 是电极化强度。束缚电荷密度 ρ b o u n d {displaystyle rho _{bound}} 的定义式为（请参阅电极化）注意到 ρ {displaystyle rho } 是总电荷密度：稍加编排，所以， ∇ ⋅ E = ρ / ε 0 {displaystyle nabla cdot mathbf {E} =rho /varepsilon _{0}} 若且维若 ∇ ⋅ D = ρ f r e e {displaystyle nabla cdot mathbf {D} =rho _{free}} 。两个方程等价。线性电介质有一个简单良好的性质，其 D {displaystyle mathbf {D} } 和 E {displaystyle mathbf {E} } 的关系方程为其中， ϵ {displaystyle epsilon } 是物质的电容率。对于线性电介质，又有一对等价的高斯定律表述：库仑定律阐明，一个固定的点电荷的电场是其中， q ′ {displaystyle q'} 是点电荷， r {displaystyle mathbf {r} } 是电场位置， r ′ {displaystyle mathbf {r} '} 是点电荷位置。根据这方程，计算位于 r ′ {displaystyle mathbf {r} '} 的无穷小电荷元素所产生的位于 r {displaystyle mathbf {r} } 的电场，积分体积曲域 V {displaystyle mathbb {V} } 内所有的无穷小电荷元素，可以得到电荷分布所产生的电场：取这方程两边对于 r {displaystyle mathbf {r} } 的散度：注意到其中， δ ( r ) {displaystyle delta (mathbf {r} )} 是狄拉克δ函数。所以， E ( r ) {displaystyle mathbf {E} (mathbf {r} )} 的散度是利用狄拉克δ函数的挑选性质，可以得到高斯定律的微分形式：由于库仑定律只能应用于固定不动的电荷，对于移动电荷，这导引不能证明高斯定律成立。事实是，对于移动电荷，高斯定律也成立。所以，从这角度来看，高斯定律比库仑定律更一般化。严格地说，从高斯定律不能数学推导出库仑定律，高斯定律并没有给出任何关于电场的旋度的资料（参阅亥姆霍兹定理和法拉第电磁感应定律）。但是，假若能够添加一个对称性假定，即电荷造成的电场是球对称的（就像库仑定律本身一样，在固定不动电荷的状况，这假设是正确的；在移动电荷的状况，这假设是近乎正确的），那么，就可以从高斯定律推导出库仑定律。高斯定律的方程为设定高斯定律积分的曲面 A {displaystyle mathbb {A} } 为一个半径 r {displaystyle r} 圆球面，圆心位置在电荷 Q {displaystyle Q} 的位置。那么，由于球对称性， E = E ( r ) r ^ {displaystyle mathbf {E} =E(r){hat {mathbf {r} }}} ， E ( r ) {displaystyle E(r)} 与 d a ′ {displaystyle dmathbf {a} '} 无关，可以将 E ( r ) {displaystyle E(r)} 从积分内提出：所以，库仑定律成立：