正交群

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G₂ F₄E₆ E₇E₈
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

无限单李群：A_n, B_n, C_n, D_n,
特殊单李群 G₂（英语：G2 (mathematics)） F₄E₆ E₇E₈（英语：E8 (mathematics)）

数学上，数域上的阶正交群，记作O(,)，是上的× 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL(,)的子群，由

这里是的转置。实数域上的经典正交群通常就记为O()。

更一般地，上一个非奇异二次型的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。嘉当-迪奥多内定理描述了这个正交群的结构。

每个正交矩阵的行列式为1或−1。行列式为1的×正交矩阵组成一个O(,)的正规子群，称为特殊正交群SO(,)。如果的特征为2，那么1 = −1，从而O(,)和SO(,)相等；其他情形SO(,)在O(,)中的指数是2。特征2且偶数维时，很多作者用另一种定义，定义SO(,)为迪克森不变量的核，这样它在O(,)中总有指数2。

O(,)和SO(,)都是代数群，因为如果一个矩阵是正交的条件，即转置等于逆矩阵，能够定义成一些关于矩阵分量的多项式方程。

实数域R上的正交群O(,R)和特殊正交群SO(,R)在不会引起误会时经常记为O()和SO()。他们是(-1)/2 维实紧李群。O(,R)有两个连通分支，SO(,R)是单位分支，即包含单位矩阵的连通分支。

实正交群和特殊正交群有如下的解释：

O(,R)是欧几里得群()的子群，()是R的等距群；O(,R)由其中保持原点不动等距组成。它是以原点为中心的球面 ( = 3)、超球面和所有球面对称的对象的对称群。

SO(,R)是+()的子群，+()是“直接”等距，即保持定向的等距；SO(,R)由其中保持原点不动的等距组成。它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群。

{ , − }是O(,R)的正规子群并是特征子群；如果是偶数，对SO(,R)也对。如果是奇数，O(,R)是SO(,R)和{ , − }的直积。重旋转循环群对任何正整数都是O(2,R)和SO(2,R)的正规子群。

取合适的正交基，等距是

的形式。这里矩阵₁,...,是2×2旋转矩阵。

圆的对称群是O(2,R)，也称为Dih(S1)，这里S1是模长1复数的乘法群。

SO(2,R) (作为李群)同构于圆S1（圆群）。这个同构将复数exp(φ) = cos(φ) + sin(φ)映到正交矩阵

群SO(3,R)，视为3维空间的旋转，是科学和工程中最重要的群。参见旋转群和3×3旋转矩阵利用轴和角的一般公式

在代数拓扑方面，对 > 2，SO(,R)的基本群是2阶循环，而自旋群Spin()是其万有覆叠。对 = 2基本群是无限循环而万有覆叠对应于实数轴（旋量群Spin(2)是惟一的2重复叠）

李群O(,R)和SO(,R的李代数由斜对称实×矩阵组成，李括号由交换子给出。这个李代数经常记为 o(,R)或so(,R)。

保持R原点不动的同构，组成群O(,R)，能分成如下几类：

特别地指出4阶和5阶正交群，在更宽泛的意义下6阶也是，称为反射旋转。类似的参见欧几里得群。

作为保持距离的同构，正交变换也保角，从而是共形变换，但是不是所有的共形变换都是正交变换。R的线性共形映射构成的群记作CO()，由正交群和收缩的乘积给出。如果是奇数，两个子群不相交，他们是直积：${\displaystyle \mathrm{CO}<!--\; \; -->(2n+1)=\mathrm{O}<!--\; \; -->(2n+1)\times <!--\; \times \; -->\mathbf{R}}$是偶数，两个子群的交是${\displaystyle \pm <!--\; \pm \; -->1}$)，这时总有${\displaystyle \mathrm{CSO}<!--\; \; -->(n):=\mathrm{CO}<!--\; \; -->(n)\cap <!--\; \cap \; -->{\mathrm{GL}}_{+}<!--\; \; -->(n)=\mathrm{SO}<!--\; \; -->(n)\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{R}}^{+}}$,C)和SO(,C)是C上(-1)/2维的李群，这意味着实维数是(-1)。O(,C)有两个连通分支，SO(,C)是包含恒同矩阵的分支。当 ≥ 2时，这些群非紧。

和实情形一样，SO(,C)不是单连通的，对 > 2 SO(,C)的基本群是2阶循环群，而SO(2,C)的基本群是无穷循环群。

O(,C)和SO(,C)的复李代数由斜对称复×矩阵组成，李括号由交换子给出。

低维实正交群是熟悉的空间：

由于三维旋转在工程中有重要应用，产生了很多SO(3)上的卡。

正交群的同伦群和球面的同伦群密切相关，从而一般是很难计算的。

但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群（也称为有限正交群），定义为包含序列

的正向极限（因为包含都是闭包含，从而是上纤维化，也能理解成并）。

${\displaystyle S^n}$ -连通的，故同伦群稳定，对${\displaystyle n>k+1}$的同伦群以8为周期，即 ${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{k+8}O={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{k}O}$的同伦群和稳定球面上的向量丛等价（同构的意义下），提高一个维数：${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{k}O={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{k+1}BO}$，以及有两个分支，${\displaystyle KO=BO\times <!--\; \times \; -->\mathbf{Z}}$ = 1的特例，${\displaystyle O^{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}(2,q)}$,) = { ∈ GL(,) : ·t=I }。关于这些群的阶数我们有以下公式

如果${\displaystyle -<!--\; -\; -->1}$/2的同态，是0或1取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合。在特征不等于2的域上迪克森不变量和行列式等价：行列式等于−1的迪克森不变量次幂。

在特征2的域上，行列式总为1，所以迪克森不变量给出了额外的信息。在特征2域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为0的元素，而不是行列式为1。

迪克森不变量也能对所有维数的克利福德群和Pin群类似地定义。

特征2域上的正交群常常有不同的表现。这一节列出一些不同：

旋量模是一个从域上正交群到域的乘法群模去平方元素

的同态，将关于模长为向量的反射映到*/*2中的。

旋量模对实数域上的正交群是平凡的，但是其它域上常常不平凡，譬如实数域上不定二次型定义的正交群。

代数群的伽罗瓦上同调理论，引入了一些更深入的观点。它们有解释的价值，特别是二次型理论的联系；但就目前所发现的现象而言，大部分都是“马后炮”。第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式（张量）可以与伽罗瓦1等同起来。作为一个代数群，正交群一般不是连通或单连通的；第二个观点是引入自旋现象，但前一个和判别式相联系。

一个旋量模的“spin”名字可以用与自旋群（更准确地pin群）的一个联系来解释。这种方法现在可以马上用伽罗瓦上同调（引入克利福德代数的术语）来解释。正交群的自旋群覆叠给出了一个代数群的短正合列：

这里μ₂是单位根的代数群；在一个特征非2的域上，粗略地看，和作用平凡的两元素群相同。

从0（就是取值于中点的群_V()）到1(μ₂)的连接同态本质上是spinor模，因为 1(μ₂)同构于域模去平方元素的乘法群。

正交群的1到自旋群覆叠的核的2也存在连接同态。因上同调是非阿贝尔的，所以，至少用普通定义，这是我们能走得最远的。

物理中，特别是在Kaluza-Klein紧化领域，找出正交群的子群非常重要。主要结论如下：

正交群O(n)也是一些李群的重要子群：

群O(10)在超弦理论中非常重要，因为它是10维时空的对称群。