啁啾质量

在天文物理学里，一个致密双星系统的啁啾质量（chirp mass）定义为

其中，${\displaystyle \mathcal{M}}$是啁啾质量，${\displaystyle m_1}$与${\displaystyle m_2}$是两个星体的质量。

啁啾质量决定了双星系统因发射引力波失去能量而形成的前阶（英语：leading order）轨道演化现象。由于引力波的频率与轨道频率有关，啁啾质量决定了双星系统在旋近阶段所发射出的引力波的频率演化。在引力波数据分析里，计算啁啾质量比计算两个星体的个别质量简单很多。

给定双星系统的质量分别为${\displaystyle m_1}$与${\displaystyle m_2}$，此系统的啁啾质量为

啁啾质量也可以用其它常见质量参数来表示：

其中，${\displaystyle M=m_1+m_2}$是总质量，${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}}$是约化质量，${\displaystyle q=m_1/m_2}$是质量比，${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}=\frac{m_1{m}_2}{(m_1+m_2{)}^2}}$是对称质量比。

在广义相对论里，双星系统的轨道相位演化可以用后牛顿力学近似方法来计算。该方法使用轨道速度${\displaystyle v/c}$为摄动项来进行展开。一阶引力波频率演化为:15

其中， ${\displaystyle f}$是频率，${\displaystyle c}$是光速，${\displaystyle G}$是万有引力常数。

假设能够测量到引力波信号的频率与频率的一阶导数，则可估算出啁啾质量：

${\displaystyle \mathcal{M}=\frac{c^3}{G}{\left(\frac{5}{96}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->8/3}{f}^{-<!--\; -\; -->11/3}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{f}\right)}^{3/5}}$

(1)

若要明确知道每个涉及星体的独自质量，则必须找出后牛顿展开的更高阶项。

${\displaystyle \stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{f}=\frac{96}{5}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{8/3}{\left(\frac{G\mathcal{M}}{c^3}\right)}^{5/3}{f}^{11/3}}$。

(2)

将方程（2）对于时间做积分，则可得到

${\displaystyle \frac{96}{5}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{8/3}{\left(\frac{G\mathcal{M}}{c^3}\right)}^{5/3}t+\frac{3}{8}{f}^{-<!--\; -\; -->8/3}+C=0}$；

(3)

其中，${\displaystyle C}$是积分常数。

然后，设定${\displaystyle x\equiv <!--\; \equiv \; -->t}$、${\displaystyle y\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{3}{8}{f}^{-<!--\; -\; -->8/3}}$，则可对多个数据点(x, y)做直线拟和，从直线的斜率计算出啁啾质量,