子流形

✍ dations ◷ 2025-04-02 12:09:30 #微分几何,流形

数学上,流形的子流形是子集,且本身也有流形的结构,并且内含映射 → 满足特定属性。根据具体所需的属性,有各种不同类型的子流形。不同作者经常采用不同的定义。

下面假设所有流形为类微分流形, ≥ 1,并且所有映射为类可微。

流形的浸入子流形是流形,带有给定浸入 : → ( : → ()是一个光滑映射,且其雅可比矩阵处处满秩)。因此,在中的像和存在局域同胚。如果进一步要求的度量和从拉回的度量相同,则称等度浸入子流形。

嵌入子流形(也称正则子流形)是浸入子流形,其浸入映射为同胚。子流形拓扑和它的像(流形的子集)的子集拓扑相同。

嵌入子流形也可以内蕴定义:令为-维流形,令为整数,满足0 ≤ ≤ 。-维嵌入子流形是子空间 ⊂ 使得,对每个点 ∈ ,存在图( ⊂ , φ : → R)包含满足φ( ∩ )是一个-维平面和φ()的交。二元组( ∩ , φ|)构成上微分结构的图册。

子流形在李群理论中出现频繁,因为很多李群可以视为非退缩矩阵乘法群的子流形兼子群。

文献中有其他子流形的变种定义。

给定的浸入子流形,其点的切空间可以视为在中的线性子空间。这是因为浸入给出了一个单射

假设是的嵌入子流形。若内含映射 : → 是闭映射则也称闭嵌入子流形。这是具有良好属性的一类子流形。

流形经常被为欧几里得空间R的子流形,所以这是一个非常重要的特例。根据惠特尼嵌入定理所有第二可数的光滑-流形可以光滑地嵌入到R2中。而且根据纳什嵌入定理,所有紧致闭流形可以等距嵌入欧几里得空间。

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