子流形

✍ dations ◷ 2025-11-08 23:32:16 #微分几何,流形

数学上，流形的子流形是子集，且本身也有流形的结构，并且内含映射 → 满足特定属性。根据具体所需的属性，有各种不同类型的子流形。不同作者经常采用不同的定义。

下面假设所有流形为类微分流形， ≥ 1，并且所有映射为类可微。

流形的浸入子流形是流形，带有给定浸入 : → （ : → ()是一个光滑映射，且其雅可比矩阵处处满秩）。因此，在中的像和存在局域同胚。如果进一步要求的度量和从拉回的度量相同，则称等度浸入子流形。

嵌入子流形（也称正则子流形）是浸入子流形，其浸入映射为同胚。子流形拓扑和它的像（流形的子集）的子集拓扑相同。

嵌入子流形也可以内蕴定义：令为-维流形，令为整数，满足0 ≤ ≤ 。-维嵌入子流形是子空间 ⊂ 使得，对每个点 ∈ ，存在图( ⊂ , φ : → R)包含满足φ( ∩ )是一个-维平面和φ()的交。二元组( ∩ , φ|_∩)构成上微分结构的图册。

子流形在李群理论中出现频繁，因为很多李群可以视为非退缩矩阵乘法群的子流形兼子群。

文献中有其他子流形的变种定义。

给定的浸入子流形，其点的切空间可以视为在中的线性子空间。这是因为浸入给出了一个单射

假设是的嵌入子流形。若内含映射 : → 是闭映射则也称闭嵌入子流形。这是具有良好属性的一类子流形。

流形经常被为欧几里得空间R的子流形，所以这是一个非常重要的特例。根据惠特尼嵌入定理所有第二可数的光滑-流形可以光滑地嵌入到R2中。而且根据纳什嵌入定理，所有紧致闭流形可以等距嵌入欧几里得空间。

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