魏尔斯特拉斯椭圆函数

在数学中，魏尔斯特拉斯椭圆函数（Weierstrass's elliptic functions）又称 p 函数并且以 ${\displaystyle \mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}$ 符号表示，是格外简单的一类椭圆函数，也是雅可比椭圆函数的特殊形式。卡尔·魏尔斯特拉斯首先研究了这些函数。

魏尔斯特拉斯p函数的符号

固定 ${\displaystyle \mathbb{C}}$ 中的格 ${\displaystyle \mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}=\mathbb{Z}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1\oplus <!--\; \oplus \; -->\mathbb{Z}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2}$（ ${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}}$ 在 ${\displaystyle \mathbb{Q}}$ 上线性无关），对应的魏尔斯特拉斯椭圆函数定义是

显然右式只与格 ${\displaystyle \mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}$ 相关，无关于基 ${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2}$ 之选取。${\displaystyle \mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}$ 的元素也称作周期。

另一方面，格 ${\displaystyle \mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}$ 在取适当的全纯同态 ${\displaystyle \mathbb{C}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}}$ 后可表成 ${\displaystyle \mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}=\mathbb{Z}\oplus <!--\; \oplus \; -->\mathbb{Z}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$，其中 ${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$ 属于上半平面。对于这种形式的格，

反之，由此亦可导出对一般的格之公式

在数值计算方面，${\displaystyle \mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}$ 可以由Θ函数快速地计算，方程是

假设 ${\displaystyle u+v+w=0}$，上式有一个较对称的版本

此外

魏尔斯特拉斯椭圆函数满足复制公式：若 ${\displaystyle 2z}$ 不是周期，则

定义 ${\displaystyle g_2,g_3}$（依赖于 ${\displaystyle \mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}$）为

求和符号 ${\displaystyle \underset{w}{\overset{\prime }{\sum <!--\; \sum \; -->}}}$ 意谓取遍所有非零的 ${\displaystyle w}$。当 ${\displaystyle \mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}=\mathbb{Z}\oplus <!--\; \oplus \; -->\mathbb{Z}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$ 时，它们可由艾森斯坦级数 ${\displaystyle G_4,G_6}$ 表示。

则魏尔斯特拉斯椭圆函数满足微分方程

故 ${\displaystyle z\mapsto <!--\; \mapsto \; -->(\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}(z),{\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}^{\prime }(z))}$ 给出了从复环面 ${\displaystyle \mathbb{C}/\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}$ 映至三次复射影曲线 ${\displaystyle y^2=4x^3-<!--\; -\; -->g_{2}x-<!--\; -\; -->g_3}$ 的全纯映射；可证明这是同构。

另一方面，将上式同除以 ${\displaystyle {\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}^{\prime }}$，积分后可得

右侧是复平面上的路径积分，对不同的路径 ${\displaystyle \mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}(z_1)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}(z_2)}$，其积分值仅差一个 ${\displaystyle \mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}$ 的元素；所以左式应在复环面 ${\displaystyle \mathbb{C}/\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}$ 中考虑。在此意义下，魏尔斯特拉斯椭圆函数是某类椭圆积分之逆。

续用上节符号，模判别式 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}$ 定义为下述函数

视为周期格的函数，这是权 12 之模形式。模判别式也可以用戴德金η函数表示。