态叠加原理

在量子力学里，态叠加原理（superposition principle）表明，假若一个量子系统的量子态可以是几种不同量子态中的任意一种，则它们的归一化线性组合也可以是其量子态。称这线性组合为“叠加态”。假设组成叠加态的几种量子态相互正交，则这量子系统处于其中任意量子态的概率是对应权值的绝对值平方。:316ff从数学表述，态叠加原理是薛定谔方程的解所具有的性质。由于薛定谔方程是个线性方程，任意几个解的线性组合也是解。这些形成线性组合（称为“叠加态”）的解时常会被设定为相互正交（称为“基底态”），例如氢原子的电子能级态；换句话说，这几个基底态彼此之间不会出现重叠。这样，对于叠加态测量任意可观察量所得到的期望值，是对于每一个基底态测量同样可观察量所得到的期望值，乘以叠加态处于对应基底态的概率之后，所有乘积的总和。更具体地说明，假设对于某量子系统测量可观察量 A {displaystyle A} ，而可观察量 A {displaystyle A} 的本征态 | a 1 ⟩ {displaystyle |a_{1}rangle } 、 | a 2 ⟩ {displaystyle |a_{2}rangle } 分别拥有本征值 a 1 {displaystyle a_{1}} 、 a 2 {displaystyle a_{2}} ，则根据薛定谔方程的线性关系，叠加态 | ψ ⟩ = c 1 | a 1 ⟩ + c 2 | a 2 ⟩ {displaystyle |psi rangle =c_{1}|a_{1}rangle +c_{2}|a_{2}rangle } 也可以是这量子系统的量子态；其中， c 1 {displaystyle c_{1}} 、 c 2 {displaystyle c_{2}} 分别为叠加态处于本征态 | a 1 ⟩ {displaystyle |a_{1}rangle } 、 | a 2 ⟩ {displaystyle |a_{2}rangle } 的概率幅。假设对这叠加态系统测量可观察量 A {displaystyle A} ，则测量获得数值是 a 1 {displaystyle a_{1}} 或 a 2 {displaystyle a_{2}} 的概率分别为 | c 1 | 2 {displaystyle |c_{1}|^{2}} 、 | c 2 | 2 {displaystyle |c_{2}|^{2}} ，期望值为 ⟨ ψ | A | ψ ⟩ = | c 1 | 2 a 1 + | c 2 | 2 a 2 {displaystyle langle psi |A|psi rangle =|c_{1}|^{2}a_{1}+|c_{2}|^{2}a_{2}} 。举一个可直接观察到量子叠加的实例，在双缝实验里，可以观察到通过两条狭缝的光子相互干涉，造成了显示于侦测屏障的明亮条纹和黑暗条纹，这就是双缝实验著名的干涉图样。再举一个案例，在量子运算里，量子位元是的两个基底态 | 0 ⟩ {displaystyle |0rangle } 与 | 1 ⟩ {displaystyle |1rangle } 的线性叠加。这两个基底态 | 0 ⟩ {displaystyle |0rangle } 、 | 1 ⟩ {displaystyle |1rangle } 的本征值分别为 0 {displaystyle 0} 、 1 {displaystyle 1} 。在数学里，叠加原理表明，线性方程的任意几个解所组成的线性组合也是这方程的解。由于薛定谔方程是线性方程，叠加原理也适用于量子力学，在量子力学里称为态叠加原理。假设某量子系统的量子态可以是 | f 1 ⟩ {displaystyle |f_{1}rangle } 或 | f 2 ⟩ {displaystyle |f_{2}rangle } ，这些量子态都满足描述这量子系统物理行为的薛定谔方程。则这量子系的量子态也可以是它们的线性组合 | f ⟩ = c 1 | f 1 ⟩ + c 2 | f 2 ⟩ {displaystyle |frangle =c_{1}|f_{1}rangle +c_{2}|f_{2}rangle } ，也满足同样的薛定谔方程；其中， c 1 {displaystyle c_{1}} 、 c 2 {displaystyle c_{2}} 是复值系数，为了归一化 | f ⟩ {displaystyle |frangle } ，必须让 | c 1 | 2 + | c 2 | 2 = 1 {displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1} 。假设 θ {displaystyle theta } 为实数，则虽然 e i θ | f 2 ⟩ {displaystyle e^{itheta }|f_{2}rangle } 与 | f 2 ⟩ {displaystyle |f_{2}rangle } 标记同样的量子态，他们并无法相互替换。例如， | f 1 ⟩ + | f 2 ⟩ {displaystyle |f_{1}rangle +|f_{2}rangle } 、 | f 1 ⟩ + e i θ | f 2 ⟩ {displaystyle |f_{1}rangle +e^{itheta }|f_{2}rangle } 分别标记两种不同的量子态。但是， | f 1 ⟩ + | f 2 ⟩ {displaystyle |f_{1}rangle +|f_{2}rangle } 和 e i θ ( | f 1 ⟩ + | f 2 ⟩ ) {displaystyle e^{itheta }(|f_{1}rangle +|f_{2}rangle )} 都标记同一个量子态。因此可以这样说，整体的相位因子并不具有物理意义，但相对的相位因子具有重要的物理意义。这种相位因子固定不变的量子叠加称为“相干量子叠加”。:317设想自旋为 1 / 2 {displaystyle 1/2} 的电子，它拥有两种相互正交的自旋本征态，上旋态 | ↑ ⟩ {displaystyle |uparrow rangle } 与下旋态 | ↓ ⟩ {displaystyle |downarrow rangle } ，它们的量子叠加可以用来表示量子位元：其中， c ↑ {displaystyle c_{uparrow }} 、 c ↓ {displaystyle c_{downarrow }} 分别是复值系数，为了归一化 | ψ ⟩ {displaystyle |psi rangle } ，必须让 | c ↑ | 2 + | c ↓ | 2 = 1 {displaystyle |c_{uparrow }|^{2}+|c_{downarrow }|^{2}=1} 。这是最一般的量子态。系数 c ↑ {displaystyle c_{uparrow }} 、 c ↓ {displaystyle c_{downarrow }} 分别给定电子处于上旋态或下旋态的概率：总概率应该等于1： p = p ↑ + p ↓ = | c ↑ | 2 + | c ↓ | 2 = 1 {displaystyle p=p_{uparrow }+p_{downarrow }=|c_{uparrow }|^{2}+|c_{downarrow }|^{2}=1} 。这电子也可能处于这两个量子态的叠加态：电子处于上旋态或下旋态的概率分别为再次注意到总概率应该等于1：描述一个非相对论性自由粒子的含时薛定谔方程为:331-336其中， ℏ {displaystyle hbar } 是约化普朗克常数， Ψ ( r , t ) {displaystyle Psi (mathbf {r} ,t)} 是粒子的波函数， r {displaystyle mathbf {r} } 是粒子的位置， t {displaystyle t} 是时间。这薛定谔方程有一个平面波解：其中， k {displaystyle mathbf {k} } 是波矢， ω {displaystyle omega } 是角频率。代入薛定谔方程，这两个变数必须遵守关系式由于粒子存在的概率等于1，波函数 Ψ ( r , t ) {displaystyle Psi (mathbf {r} ,t)} 必须归一化，才能够表达出正确的物理意义。对于一般的自由粒子而言，这不是问题。因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数可以表示为很多平面波的量子叠加：其中，积分区域 K {displaystyle mathbb {K} } 是 k {displaystyle mathbf {k} } -空间。为了方便计算，只思考一维空间，其中，振幅 A ( k ) {displaystyle A(k)} 是量子叠加的系数函数。逆反过来，系数函数表示为其中， Ψ ( x , 0 ) {displaystyle Psi (x,0)} 是在时间 t = 0 {displaystyle t=0} 的波函数。所以，知道在时间 t = 0 {displaystyle t=0} 的波函数 Ψ ( x , 0 ) {displaystyle Psi (x,0)} ，通过傅里叶变换，可以推导出在任何时间的波函数 Ψ ( x , t ) {displaystyle Psi (x,t)} 。