双射法

✍ dations ◷ 2025-11-25 23:06:25 #Webarchive模板archiveit链接,组合计数,包含证明的条目,证明

双射法是组合数学中的一种重要的证明方法，用来证明两个有限集合A和B的元素数目相等。证明的思路是构造一个双射映射 : → ，于是根据双射的性质，A和B的元素数目就是相等的。这个证明是构造法证明的一种。由于双射法是给出具体的映射构造，而不是分别点算两个集合，所以不需要知道两个集合的元素个数。这种证明可以用于难以直接对两个集合或其中一个集合进行计数的情况。此外，双射法也可以用来计算一个集合（难以直接计算时），方法是将它映射到一个可以拆分或比较容易计算的集合。而作为构造性证明，双射法用到的也许可以用来更深刻地分析集合本身的性质。

二次项系数具有一定的对称性：

证明：这个等式可以视为两个集合的元素个数。考虑以下个元素的集合： $S=\{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\}$ 把C映射到它在S中的补集（有S中的 $n-k$ 是一个从 $A_{n}$ 是一个单射。

对于 $B_{n+2}$ 也是一个满射。

也就是说，是一个双射。这就证明了 $a_{n}=b_{n+2}.$ $a_{n}=b_{n+2}.$

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