极小多项式

在抽象代数中，一个域上的代数元 ${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$ 之极小多项式（或最小多项式）是满足 ${\displaystyle P(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=0}$ 的最低次首一多项式(多项式内最高次项之系数为1) ${\displaystyle P}$。此概念对线性代数与代数扩张的研究极有助益。

设 ${\displaystyle k}$ 为一个域，${\displaystyle A}$ 为有限维 ${\displaystyle k}$-代数。对任一元素 ${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A}$，集合 ${\displaystyle \{1,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2,\dots <!--\; \dots \; -->\}}$ 张出有限维向量空间，所以存在非平凡的线性关系 ：

可以假设 ${\displaystyle c_n=1}$，此时多项式 ${\displaystyle f(X):=\underset{i=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_i{X}^i}$ 满足 ${\displaystyle f(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=0}$。根据多项式环里的除法，可知这类多项式中只有一个次数最小者，称之为 ${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$ 的极小多项式。

由此可导出极小多项式的次数等于 ${\displaystyle {\dim }_k<!--\; \; -->k}$，而且 ${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$ 可逆当且仅当其极小多项式之常数项非零，此时 ${\displaystyle {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}}$ 可以表成 ${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$ 的多项式。

考虑所有 ${\displaystyle n\times <!--\; \times \; -->n}$ 矩阵构成的 ${\displaystyle k}$-代数 ${\displaystyle M_n(k)}$，由于 ${\displaystyle \dim <!--\; \; -->M_n(k)=n^2}$，此时可定义一个${\displaystyle n\times <!--\; \times \; -->n}$ 矩阵之极小多项式，而且其次数至多为 ${\displaystyle n^2}$；事实上，根据凯莱-哈密顿定理，可知其次数至多为 ${\displaystyle n}$，且其根属于该矩阵的特征值集。

极小多项式是矩阵分类理论（若尔当标准型、有理标准形）的关键。

设 ${\displaystyle k^{\prime }}$ 为 ${\displaystyle k}$ 的有限扩张，此时可视 ${\displaystyle k^{\prime }}$ 为有限维 ${\displaystyle k}$-代数。根据域的性质，极小多项式必为素多项式。元素的迹数及范数等不变量可以从极小多项式的系数读出。