极小多项式

✍ dations ◷ 2025-10-30 06:21:01 #抽象代数,域论,线性代数,多项式

在抽象代数中,一个域上的代数元 α {\displaystyle \alpha } 之极小多项式(或最小多项式)是满足 P ( α ) = 0 {\displaystyle P(\alpha )=0} 的最低次首一多项式(多项式内最高次项之系数为1) P {\displaystyle P} 。此概念对线性代数与代数扩张的研究极有助益。

k {\displaystyle k} 为一个域, A {\displaystyle A} 为有限维 k {\displaystyle k} -代数。对任一元素 α A {\displaystyle \alpha \in A} ,集合 { 1 , α , α 2 , } {\displaystyle \{1,\alpha ,\alpha ^{2},\ldots \}} 张出有限维向量空间,所以存在非平凡的线性关系 :

可以假设 c n = 1 {\displaystyle c_{n}=1} ,此时多项式 f ( X ) := i = 0 n c i X i {\displaystyle f(X):=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}} 满足 f ( α ) = 0 {\displaystyle f(\alpha )=0} 。根据多项式环里的除法,可知这类多项式中只有一个次数最小者,称之为 α {\displaystyle \alpha } 的极小多项式。

由此可导出极小多项式的次数等于 dim k k {\displaystyle \dim _{k}k} ,而且 α {\displaystyle \alpha } 可逆当且仅当其极小多项式之常数项非零,此时 α 1 {\displaystyle \alpha ^{-1}} 可以表成 α {\displaystyle \alpha } 的多项式。

考虑所有 n × n {\displaystyle n\times n} 矩阵构成的 k {\displaystyle k} -代数 M n ( k ) {\displaystyle M_{n}(k)} ,由于 dim M n ( k ) = n 2 {\displaystyle \dim M_{n}(k)=n^{2}} ,此时可定义一个 n × n {\displaystyle n\times n} 矩阵之极小多项式,而且其次数至多为 n 2 {\displaystyle n^{2}} ;事实上,根据凯莱-哈密顿定理,可知其次数至多为 n {\displaystyle n} ,且其根属于该矩阵的特征值集。

极小多项式是矩阵分类理论(若尔当标准型、有理标准形)的关键。

k {\displaystyle k'} k {\displaystyle k} 的有限扩张,此时可视 k {\displaystyle k'} 为有限维 k {\displaystyle k} -代数。根据域的性质,极小多项式必为素多项式。元素的迹数及范数等不变量可以从极小多项式的系数读出。

相关

  • 斯蒂芬·罗斯斯蒂芬·阿兰·“史蒂夫”·罗斯(Stephen Alan "Steve" Ross)是麻省理工斯隆管理学院弗兰科·莫迪利安尼金融经济学教授。他是金融经济学中的几个重要的理论和模型的创立者。
  • 洪德法洪德法(d'Hondt method),又译抗特计算法,是指在比例代表制下的最高均数方法选举形式之一。洪德法基本规则为,把每一参选党派所取得票数除以一、二、三、直至议席数目,然后将得出的
  • 乌胡鲁·肯雅塔乌胡鲁·肯雅塔(Uhuru Muigai Kenyatta ,1961年10月26日-),现任肯尼亚总统。乌胡鲁·肯雅塔是肯尼亚开国总统乔莫·肯雅塔之子。其名乌胡鲁在斯瓦希里语中意思是“自由”,以冀他能
  • 台14线台14线,是位于台湾的一条省道,起自彰化县彰化市,讫于南投县仁爱乡屯原,全长99.021公里,是进入埔里、日月潭、雾社的重要公路。台3线的台中市至草屯,接台14线草屯至埔里段与台21线
  • 漫长的告别《漫长的告别》(英语:)是雷蒙·钱德勒于1953年出版的小说,许多评论家认为这是马罗系列中最出色的作品。 雷蒙·钱德勒认为这部作品是他最出色的小说。《漫长的告别》讲述了私家
  • 有原航平选手时期有原航平(Arihara Kohei,1992年8月11日-)是一名出身于日本广岛县广岛市佐伯区的棒球选手,司职投手,目前效力于日本职棒北海道日本火腿斗士。22 鹤冈慎也 | 71 饭山裕志 |
  • 沸腾的生活《沸腾的生活》(罗马尼亚语 Zile fierbinți)是一部罗马尼亚电影,1975年出品。中国北京电影制片厂于1977年以黑白片制式出品了译制片《沸腾的生活》,该片尤其片头曲在中国知名度
  • 格里戈里·莫伊塞耶维奇·克拉马罗夫格里戈里·莫伊塞耶维奇·克拉马罗夫 (俄语:Григо́рий Моисеевич Кра́маров,1887年-1970年),原名格谢尔·莫伊塞耶维奇·克劳马尔 (俄语:Гершель
  • 布莱斯马沙峰坐标:46°34′13.5″N 9°43′11.7″E / 46.570417°N 9.719917°E / 46.570417; 9.719917布莱斯马沙峰(Piz Bleis Marscha),是瑞士的山峰,位于该国东南部,由格劳宾登州负责管辖,属
  • 北入江信号场北入江信号场(日语:北入江信号場駅/きたいりえしんごうじょう  */?)是北海道旅客铁道室兰本线的内一个信号场,位于洞爷湖町。室兰本线因对应高速化及应付由札幌站所分流的特急