幂零群

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G₂ F₄E₆ E₇E₈
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

在群论里，幂零群为一拥有几乎可换之特殊性质的群，经由交换子( = -1-1)的重复应用。幂零群诞生于伽罗瓦理论和对群的分类之中。其对李群的分类亦具有很重要的功用。

首先先定义群的降中央列，其为一系列的群 = ₀、₁、₂、...、，其中每个₊₁ = 为所有由中的及中的所算出的所有交换子所产生出来的的子群。因此，₁==1为的导群，而₂ = ，以此类推。

若为可换的，则 = ，即为其平凡子群。将此一概念延伸，则可定义一个群为幂零的，若其存在一自然数使得为平凡的。若为可使得的最小自然数，则称此一群为。每一个阿贝尔群都是1级幂零，除了平凡群之外，其为0级幂零。若一个群为至少级幂零，则有时称其为零群。

做为证明此一名词使用的正当性，先取一幂零群及其内一元素并定义一函数: → 为() = 。则这一函数为幂零的，因为其存在一自然数使得，即的次递归，将每一个内的元素映射至单位元。

另一个定义幂零群的等价方法为采取升中央列之方式，其为一系列的群 = ₀、₁、₂、...、，其中每个接续的群之定义为：

在此定义下，₁为的中心，且对于其每个接续的群而言，其商群₊₁/皆为/的中心。对一阿贝尔群来说，₁简单为；而一个群被称为，若有一最小的使得 = 。

上述两种定义为等价的：降中央列会到达其平凡子群当且仅当其升中央列可以达到；此外，其最小值在两者中也会是一样的。

如上面所述，每一个阿贝尔群均为幂零。

一个小的非阿贝尔群之例子为四元群₈。其有两个元素{1, −1}所组成的中心，且其降中央列为{1}、{1, −1}、₈；所以其为2级幂零。实际上，每个有限多个有限p-群的直积皆是幂零的。

海森堡群为非阿贝尔幂零群的另一个例子。

当每个接续的商群₊₁/皆为可换的，其序列为有限个的，且每一个幂零群都为一具有较简单结构的可解群。

每一个级幂零群的子群均为至少级幂零；另外，若为级幂零群的同态，的值域则为至少级幂零的。

下列的叙述在有限群中均为等价，表现出一个幂零性的有用性质：

最后一个叙述可以被延伸至无限群的状况下：若为一幂零群，则的每一个西洛子群都是正规的，且其西洛子群的直积会是内有限目的所有元素所组成之子群。(见挠子群)。