摆线

在数学中，摆线（Cycloid）被定义为，一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。它是一般旋轮线的一种。摆线亦称圆滚线。摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。摆线的研究最初开始于库萨的尼古拉，之后马兰·梅森也有针对摆线的研究。1599年伽利略为摆线命名。1634年吉勒斯·德·罗贝瓦勒（英语：Gilles de Roberval）指出摆线下方的面积是生成它的圆面积的三倍。1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度是生成它的圆直径的四倍。在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，甚至抹杀他人工作的现象，而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”（The Helen of Geometers）。.过原点半径为r的摆线参数方程为在这里实参数t是在弧度制下，圆滚动的角度。对每一个给出的t，圆心的坐标为(rt, r)。 通过替换解出t可以求的笛卡尔坐标方程为摆线的第一道拱由参数t在(0, 2π)区间内的点组成。摆线也满足下面的微分方程。一条由半径为r的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定：微分，于是可以求得弧形的长度可以由下面的式子计算出：一些曲线同摆线紧密相关。当我们弱化定点只能固定在圆边界上时，我们得到了短摆线（curtate cycloid）和长摆线（prolate cycloid），两者合称为次摆线（trochoid），前面的情形是定点在圆的内部，后者则是在圆外。次摆线则是上述三种曲线的统称。更进一步，如果我们让圆也沿着一个圆滚动而不是直线的话，我们会得到外摆线（epicycloid，沿着圆的外部运动，定点在圆的边缘），内摆线（hypocycloid，沿着圆内部滚动，定点在圆的边缘）以及外旋轮线（epitrochoid）和内旋轮线（hypotrochoid，定点可以在圆内的任一点包括边界。）在建筑物的设计方面，摆线曾被路易·卡恩用来设计德克萨斯州沃思堡的建筑金贝尔艺术博物馆（英语：Kimbell Art Museum）。 它也曾被用于设计新罕布什尔州汉诺威的霍普金斯中心。