贝叶斯置信区间

贝叶斯置信区间 英文名为 Credible Interval，有时也简称为置信区间。给定一定的实验（测量）结果，通过贝叶斯的理论可以计算出被估计参数的后验概率分布，从而得到一定置信概率下参数的取值区间。

设被估计的参数为${\displaystyle x}$，为了测量这个数据，（独立的）做了 ${\displaystyle n}$ 次 实验，实验的结果集计为

${\displaystyle Y=\left\{y(i),i=1,...,n\right\}}$

对于每次实验，我们定义实验结果似然概率密度函数：

${\displaystyle P\left(y(i)|x\right)}$

从而所有实验的似然概率密度函数是：

${\displaystyle P(Y|x)={\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_i^{n}P\left(y(i)|x\right)}$

利用贝叶斯公式，我们可以得到 x 的后验概率密度：

${\displaystyle p(x|Y)=\frac{P(Y|x)P(x)}{{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}P(Y|x)P(x)dx}}$

其中 ${\displaystyle p(x)}$ 是 x 的先验概率密度，也就是不考虑（本次）实验结果的情况下对于 x 的基本认识和假设；如果 x 为离散值，把积分符号变成求和即可。

最后的置信区间就是在 ${\displaystyle p(x|Y)}$ 上找到一个 x 的取值区间（通常是连续的），这个区间的面积等于置信概率（区间的选取方法可以有多种）。