丢番图方程

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:04:09 #丢番图方程

丢番图方程,又称不定方程,是未知数只能使用整数的整数系数多项式等式;即形式如 a 1 x 1 b 1 + a 2 x 2 b 2 + . . . . . . + a n x n b n = c {\displaystyle a_{1}x_{1}^{b_{1}}+a_{2}x_{2}^{b_{2}}+......+a_{n}x_{n}^{b_{n}}=c} 的等式,并且其中所有的 a j {\displaystyle a_{j}} b j {\displaystyle b_{j}} c {\displaystyle c} 均是整数。若其中能找到一组整数解 m 1 , m 2 . . . m n {\displaystyle m_{1},m_{2}...m_{n}} 者则称之有整数解。

丢番图问题一般可以有数条等式,其数目比未知数的数目少;丢番图问题要求找出对所有等式都成立的整数组合。换言之,丢番图问题定义了代数曲线或者代数曲面,或更为一般的几何形,要求找出其中的栅格点。对丢番图问题的数学研究称为丢番图分析。线性丢番图方程为线性整数系数多项式等式,即此多项式为次数为0或1的单项式的和。

丢番图方程的名字来源于3世纪希腊数学家亚历山大城的丢番图,他曾对这些方程进行研究,并且是第一个将符号引入代数的数学家。

关于丢番图方程的理论的形成和发展是二十世纪数学一个很重要的发展。丢番图方程的例子有裴蜀等式、勾股定理的整数解、佩尔方程、四平方和定理和费马最后定理等。

一次不定方程是形式如 a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n x n = c {\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=c} 的方程,一次不定方程有整数解的充要条件为:

换言之 gcd ( a 1 , . . . , a n ) {\displaystyle \gcd(a_{1},...,a_{n})} 须是 c {\displaystyle c} 的约数,其中 gcd ( a 1 , . . . , a n ) {\displaystyle \gcd(a_{1},...,a_{n})} 表示 a 1 , . . . , a n {\displaystyle a_{1},...,a_{n}} 的最大公约数。

若有二元一次不定方程 a x + b y = c {\displaystyle ax+by=c} ,且 gcd ( a , b ) | c {\displaystyle \gcd(a,b)|c} ,则其必有一组整数解 x 1 , y 1 {\displaystyle x_{1},y_{1}} ,并且还有以下关系式:

t {\displaystyle t} 为任意整数,故此一次不定方程有无限多解。请参见裴蜀等式。

1900年,希尔伯特提出丢番图问题的可解答性为他的23个问题中的第10题。1970年,一个数理逻辑的结果马蒂雅谢维奇定理(英语:Matiyasevich's theorem)说明:一般来说,丢番图问题都是不可解的。更精确的说法是,不可能存在一个算法能够判定任何丢番图方程是否有解,甚至,在任何相容于皮亚诺算数的系统当中,都能具体构造出一个丢番图方程,使得没有任何办法可以判断它是否有解。

相关

  • 爱德华三世爱德华三世(英语:Edward III,1312年11月13日-1377年6月21日),英格兰国王,1327年到1377年在位。爱德华三世是被谋杀的爱德华二世的儿子,生于伯克郡温莎。其母法兰西的伊莎贝拉与马奇
  • 娘子妻,是男女婚姻中对女性配偶的称谓,与夫相对应。台湾话中将妻子雅称为牵手,清国初年台湾文献记载台湾原住民族、平埔人称妻为牵手,后受台湾不同族群广泛使用,向外人谦称自己配偶;而
  • 等温等压系综等温等压系综是正则系综的推广,是统计力学系综的一种。正如其名,这个系综对应于具有恒定温度和压强的体系。每个系综内的体系可以和其他体系进行能量和体积交换。但系综内各体
  • 赛马会赛马会可以指:
  • 国会大选温斯顿·丘吉尔 保守党克莱门特·艾德礼 工党1945年英国大选举办于1945年7月5日,但部分选区投票日期延迟。工党在这次选举中出乎意料的获得大胜。而保守党则自1906年之后首次
  • 浙江交通共有6条国道经过本省。浙江的海运一直在全国具有重要地位,在2006年1月1日宁波港与舟山港港务正式合并成宁波舟山港前,宁波港是国家级大港,是国内第二大港,舟山港则是全国最大的
  • 原始佛教研究原始佛教(英语:original Buddhism,primitive Buddhism),佛教研究术语,指的是释迦牟尼开始说法,建立僧团,一直到部派佛教形成之前这段历史,这个术语最早为日本佛教学界使用。现代佛教
  • 汪亦岫汪亦岫,(1989年2月12日-),是台湾障碍马术选手。11岁起接受正式马术训练,曾代表台湾参加2006杜哈亚运、2010广州亚运、2014仁川亚运以及多场欧洲国际马术赛事,并在2005年亚洲杯马术
  • 塔奥鲁塔奥鲁(Taoru),是印度哈里亚纳邦Gurgaon县的一个城镇。总人口17227(2001年)。该地2001年总人口17227人,其中男性9197人,女性8030人;0—6岁人口2881人,其中男1571人,女1310人;识字率66.7
  • 金腹卷尾猴金腹卷尾猴(学名)是一种新世界猴。金腹卷尾猴的胸部、腹部及上臂呈黄色至金色,但个别或性别之间存在着些微不同。面部呈浅褐色,冠呈深或浅褐色。以往相信它们是黑帽卷尾猴的亚种