丢番图方程

✍ dations ◷ 2025-06-01 11:22:19 #丢番图方程

丢番图方程,又称不定方程,是未知数只能使用整数的整数系数多项式等式;即形式如 a 1 x 1 b 1 + a 2 x 2 b 2 + . . . . . . + a n x n b n = c {\displaystyle a_{1}x_{1}^{b_{1}}+a_{2}x_{2}^{b_{2}}+......+a_{n}x_{n}^{b_{n}}=c} 的等式,并且其中所有的 a j {\displaystyle a_{j}} b j {\displaystyle b_{j}} c {\displaystyle c} 均是整数。若其中能找到一组整数解 m 1 , m 2 . . . m n {\displaystyle m_{1},m_{2}...m_{n}} 者则称之有整数解。

丢番图问题一般可以有数条等式,其数目比未知数的数目少;丢番图问题要求找出对所有等式都成立的整数组合。换言之,丢番图问题定义了代数曲线或者代数曲面,或更为一般的几何形,要求找出其中的栅格点。对丢番图问题的数学研究称为丢番图分析。线性丢番图方程为线性整数系数多项式等式,即此多项式为次数为0或1的单项式的和。

丢番图方程的名字来源于3世纪希腊数学家亚历山大城的丢番图,他曾对这些方程进行研究,并且是第一个将符号引入代数的数学家。

关于丢番图方程的理论的形成和发展是二十世纪数学一个很重要的发展。丢番图方程的例子有裴蜀等式、勾股定理的整数解、佩尔方程、四平方和定理和费马最后定理等。

一次不定方程是形式如 a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n x n = c {\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=c} 的方程,一次不定方程有整数解的充要条件为:

换言之 gcd ( a 1 , . . . , a n ) {\displaystyle \gcd(a_{1},...,a_{n})} 须是 c {\displaystyle c} 的约数,其中 gcd ( a 1 , . . . , a n ) {\displaystyle \gcd(a_{1},...,a_{n})} 表示 a 1 , . . . , a n {\displaystyle a_{1},...,a_{n}} 的最大公约数。

若有二元一次不定方程 a x + b y = c {\displaystyle ax+by=c} ,且 gcd ( a , b ) | c {\displaystyle \gcd(a,b)|c} ,则其必有一组整数解 x 1 , y 1 {\displaystyle x_{1},y_{1}} ,并且还有以下关系式:

t {\displaystyle t} 为任意整数,故此一次不定方程有无限多解。请参见裴蜀等式。

1900年,希尔伯特提出丢番图问题的可解答性为他的23个问题中的第10题。1970年,一个数理逻辑的结果马蒂雅谢维奇定理(英语:Matiyasevich's theorem)说明:一般来说,丢番图问题都是不可解的。更精确的说法是,不可能存在一个算法能够判定任何丢番图方程是否有解,甚至,在任何相容于皮亚诺算数的系统当中,都能具体构造出一个丢番图方程,使得没有任何办法可以判断它是否有解。

相关

  • 最佳剧集万千星辉颁奖典礼最佳剧集每年由电视广播有限公司颁发,给予年度该公司最出色的电视剧。最佳剧集奖于1997年创立,曾于1999年至2004年取消颁发此奖项,直至2005年开始重新设立。此
  • 医疗旅游医疗旅游是指借由旅游到国外医疗救治的活动,在过去进行医疗旅游的人大多从发展中国家前往发达国家。但是,现在也有前往低治疗价格国家进行医疗旅游的现象。原因可能是他们寻求
  • 差速器差速器(英语:Differential)的发明,是因为在汽车于转弯时,外侧轮子走的路径要比内侧轮子走的路径要大,所以如果汽车想顺畅和精确的转弯,便需要一个装置能够转换和允许内外侧车轮以不
  • 零口站零口站是一个陇海线上的铁路车站,位于陕西省西安市临潼区零口街道,建于1934年,目前为四等站,邮政编码为710607。目前客运:办理通勤职工乘降;不办理行李、包裹托运;货运:办理整车货物
  • 张盛闻拿督张盛闻(马来语:Chong Sin Woon,1973年12月25日-),祖籍客家梅州市梅县白渡镇嵩山村,马来西亚政治人物,巴生港务局主任。他曾是马来西亚上议员、教育部第二副部长、马华公会青年团
  • 古代近东古代近东或古近东(英文:ancient Near East)是早期文明的发源地,即今中东一带:美索不达米亚(今伊拉克、土耳其东南部及叙利亚东北部)、古埃及(纵然埃及大部分地理上属于非洲东北部)、
  • 凯德拉凯德拉(Kedla),是印度贾坎德邦Hazaribag县的一个城镇。总人口17588(2001年)。该地2001年总人口17588人,其中男性9605人,女性7983人;0—6岁人口2583人,其中男1335人,女1248人;识字率61.8
  • 隈部正美隈部 正美(くまべ まさみ、1897年5月26日-1945年8月16日)为日本陆军军人。最终阶级陆军少将。熊本县出身。中日战争时间曾任第21独立飞行队队长,辖两战斗机中队,侦察、轻轰炸各一
  • 早川纪代秀早川纪代秀(日语:早川 紀代秀/はやかわ きよひで  ?,1949年7月14日-2018年7月6日)是一名奥姆真理教教徒、前教团高级干部(正悟师、教团建设省大臣),1949年出生于日本兵库县川边郡东
  • 藤原芳秀藤原芳秀(1966年6月13日-),日本男性漫画家,鸟取县八头郡船冈町(今八头町)出身。1984年在鸟取县立鸟取西工业高等学校(今鸟取县立鸟取湖棱高等学校)就学中,以‘魔利巣’入选小学馆新人