首页 >
整数分拆
✍ dations ◷ 2025-09-03 01:40:25 #整数分拆
一个正整数可以写成一些正整数的和。在数论上,跟这些和式有关的问题称为整数拆分、整数剖分、整数分割、分割数或切割数(英语:Integer partition)。其中最常见的问题就是给定正整数
n
{displaystyle n}
,求不同数组
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
k
)
{displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{k})}
的数目,符合下面的条件:分割函数p(n)是求符合以上第一、二个条件的数组数目。4可以用5种方法写成和式:4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1。因此
p
(
4
)
=
5
{displaystyle p(4)=5}
。定义
p
(
0
)
=
1
{displaystyle p(0)=1}
,若n为负数则
p
(
n
)
=
0
{displaystyle p(n)=0}
。此函数应用于对称多项式及对称群的表示理论等。分割函数p(n),n从0开始:每种分割方法都可用Ferrers图示表示。Ferrers图示是将第1行放
a
1
{displaystyle a_{1}}
个方格,第2行放
a
2
{displaystyle a_{2}}
个方格……第
k
{displaystyle k}
行放
a
k
{displaystyle a_{k}}
个方格,来表示整数分割的其中一个方法。借助Ferrers图示,可以推导出许多恒等式:证明:将表示前者其中一个数组的Ferrers图示沿对角线反射,便得到后者的一个数组。即两者一一对应,因此其数目相同。例如 k=3,n=6:此外,例如
n
=
8
{displaystyle n=8}
:p
(
n
)
{displaystyle p(n)}
的生成函数是当|x|<1,右边可写成:p
(
n
)
{displaystyle p(n)}
生成函数的倒数为欧拉函数,利用五边形数定理可得到以下的展开式:将
p
(
n
)
{displaystyle p(n)}
生成函数配合五边形数定理,可以得到以下的递归关系式其中
q
i
{displaystyle q_{i}}
是第
i
{displaystyle i}
个广义五边形数。一个杨氏矩阵与一个整数分拆一一对应,也就是说整数分拆的个数等于相应的杨氏矩阵的个数。如图表示一个10=5+4+1的分拆。利用杨氏矩阵来表示的
分拆更具有直观性,和可处理性,下面是几个例子。整数分拆(10=5+4+1)对应的杨氏矩阵沿x=y轴翻转得到新的杨氏矩阵。它对应分拆为10=3+2+2+2+1。渐近式:这式子是1918年哈代和拉马努金,以及1920年J. V. Uspensky独立发现的。1937年,Hans Rademacher得出一个更佳的结果:其中(
m
,
n
)
=
1
{displaystyle (m,n)=1}
表示
m
,
n
{displaystyle m,n}
互质时才计算那项。
s
(
m
,
k
)
{displaystyle s(m,k)}
表示戴德金和。这条公式的证明用上了和戴德金η函数、福特圆(英语:Ford circle)、法里数列、模群(英语:Modular group)。在将
n
{displaystyle n}
表示成正整数之和的所有和式之中,任意正整数
r
{displaystyle r}
作为和项出现在这些式子内的次数,跟每条和式中出现
r
{displaystyle r}
次或以上的正整数数目,相同。当
r
=
1
{displaystyle r=1}
时,此定理又称为Stanley定理。以
n
=
5
{displaystyle n=5}
为例:以下叙述带有附加条件的分拆。考虑满足下面条件分拆及分拆的每个数都不相等。生成函数是考虑满足下面条件分拆生成函数是差分拆的个数与奇分拆的个数是一样多的。可以通过杨表证明。当限定将
n
{displaystyle n}
表示成刚好
k
{displaystyle k}
个正整数之和时,可以表示为
p
k
(
n
)
{displaystyle p_{k}(n)}
。显然,
p
(
n
)
=
∑
k
=
1
n
p
k
(
n
)
{displaystyle p(n)=sum _{k=1}^{n}p_{k}(n)}
。不少数学家亦有研究按以下方式分拆的方法数目:
相关
- 癌症治疗癌症免疫疗法(英语:cancer immunotherapy或immuno-oncology)是一类通过激活免疫系统来治疗癌症的方法。此类疗法采用了癌症免疫学(英语:Cancer immunology)研究的成果,这是肿瘤学中
- 纤维母细胞纤维母细胞(fibroblast)是一种合成胞外基质和胶原蛋白的细胞,为生物结缔组织的基本构造,提供框架结构(基质)。并在动物伤口愈合上扮演重要角色。在胚胎发育中,成纤维细胞和其他的结
- 尼扎替丁尼扎替丁(INN:nizatidine)是一种组胺H2受体阻抗剂,主要用于抑制胃酸的分泌,并用于治疗消化道溃疡和胃食道逆流。尼扎替丁由礼来公司开发,并以商品名称Tazac和Axid推出市场。尼扎替
- 铝空气电池铝空气电池(Aluminium–air battery)是从空气中的氧气与铝的反应产生电能。它们的能量密度有所有电池中最高的能量密度之一,但它们没有被广泛使用,因为有很高的阳极成本和当使
- ACal/甲状腺髓质癌甲状腺髓质癌(Medullary thyroid cancer,简称MTC)为一种发源自滤泡旁细胞(C细胞)的甲状腺癌,可以分泌降钙素。甲状腺髓质癌为第三常见的甲状腺癌症,占甲状腺癌总数的3%。大约四分之
- 土豚土豚(学名:Orycteropus afer)又称土猪或蚁熊,是管齿目土豚科现存的唯一物种,属土豚属,是活化石动物。仅分布于撒哈拉沙漠以南的非洲。无蹄、有锋利的爪,且以动物性食物为主食,长1~1.5
- 明清战争抚清之战 · 萨尔浒之战 · 开铁之战 · 辽沈之战 · 镇江之战 · 林畔之战 · 广宁之战 · 辽南之战 · 亮马佃大捷 · 牛毛大捷 · 乌鸡关大捷 · 横
- 坠落陨石陨星坠落,又称观测坠落,是人类或自动化设备观测到的陨星坠落后所收集的陨石。所有其他的陨石都被称为“发现”。坠落陨石(英语:Meteorite fall)也称为坠落观察(英语:observed falls
- 人口减少人口不足(又称人口稀少或人口过稀),通常是指一个国家的人口减少至无法支持该国的社会经济。举例来说,假如现时已退休的上一辈当年的每个家庭平均有三个小孩,而现时的新一代则平均
- 受威胁受威胁物种(Threatened species)是任何有可能在不久的将来灭绝的物种(包括动物、植物、真菌),也是IUCN保护现状中对易危物种(VU)、濒危物种(EN)、极危物种(CR)的统称。所有此范围内的物