首页 >
整数分拆
✍ dations ◷ 2024-09-20 05:55:18 #整数分拆
一个正整数可以写成一些正整数的和。在数论上,跟这些和式有关的问题称为整数拆分、整数剖分、整数分割、分割数或切割数(英语:Integer partition)。其中最常见的问题就是给定正整数
n
{displaystyle n}
,求不同数组
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
k
)
{displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{k})}
的数目,符合下面的条件:分割函数p(n)是求符合以上第一、二个条件的数组数目。4可以用5种方法写成和式:4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1。因此
p
(
4
)
=
5
{displaystyle p(4)=5}
。定义
p
(
0
)
=
1
{displaystyle p(0)=1}
,若n为负数则
p
(
n
)
=
0
{displaystyle p(n)=0}
。此函数应用于对称多项式及对称群的表示理论等。分割函数p(n),n从0开始:每种分割方法都可用Ferrers图示表示。Ferrers图示是将第1行放
a
1
{displaystyle a_{1}}
个方格,第2行放
a
2
{displaystyle a_{2}}
个方格……第
k
{displaystyle k}
行放
a
k
{displaystyle a_{k}}
个方格,来表示整数分割的其中一个方法。借助Ferrers图示,可以推导出许多恒等式:证明:将表示前者其中一个数组的Ferrers图示沿对角线反射,便得到后者的一个数组。即两者一一对应,因此其数目相同。例如 k=3,n=6:此外,例如
n
=
8
{displaystyle n=8}
:p
(
n
)
{displaystyle p(n)}
的生成函数是当|x|<1,右边可写成:p
(
n
)
{displaystyle p(n)}
生成函数的倒数为欧拉函数,利用五边形数定理可得到以下的展开式:将
p
(
n
)
{displaystyle p(n)}
生成函数配合五边形数定理,可以得到以下的递归关系式其中
q
i
{displaystyle q_{i}}
是第
i
{displaystyle i}
个广义五边形数。一个杨氏矩阵与一个整数分拆一一对应,也就是说整数分拆的个数等于相应的杨氏矩阵的个数。如图表示一个10=5+4+1的分拆。利用杨氏矩阵来表示的
分拆更具有直观性,和可处理性,下面是几个例子。整数分拆(10=5+4+1)对应的杨氏矩阵沿x=y轴翻转得到新的杨氏矩阵。它对应分拆为10=3+2+2+2+1。渐近式:这式子是1918年哈代和拉马努金,以及1920年J. V. Uspensky独立发现的。1937年,Hans Rademacher得出一个更佳的结果:其中(
m
,
n
)
=
1
{displaystyle (m,n)=1}
表示
m
,
n
{displaystyle m,n}
互质时才计算那项。
s
(
m
,
k
)
{displaystyle s(m,k)}
表示戴德金和。这条公式的证明用上了和戴德金η函数、福特圆(英语:Ford circle)、法里数列、模群(英语:Modular group)。在将
n
{displaystyle n}
表示成正整数之和的所有和式之中,任意正整数
r
{displaystyle r}
作为和项出现在这些式子内的次数,跟每条和式中出现
r
{displaystyle r}
次或以上的正整数数目,相同。当
r
=
1
{displaystyle r=1}
时,此定理又称为Stanley定理。以
n
=
5
{displaystyle n=5}
为例:以下叙述带有附加条件的分拆。考虑满足下面条件分拆及分拆的每个数都不相等。生成函数是考虑满足下面条件分拆生成函数是差分拆的个数与奇分拆的个数是一样多的。可以通过杨表证明。当限定将
n
{displaystyle n}
表示成刚好
k
{displaystyle k}
个正整数之和时,可以表示为
p
k
(
n
)
{displaystyle p_{k}(n)}
。显然,
p
(
n
)
=
∑
k
=
1
n
p
k
(
n
)
{displaystyle p(n)=sum _{k=1}^{n}p_{k}(n)}
。不少数学家亦有研究按以下方式分拆的方法数目:
相关
- 哮喘喘息 、哮喘(英语:asthma,又称气喘)是常见的气道慢性炎症疾病,主要特征是多变和复发的症状、可逆性气流阻塞,和支气管痉挛(英语:bronchospasm)。常见症状表现为喘息 、咳嗽、胸腔紧
- 世界厕所组织世界厕所组织(英语:World Toilet Organization,WTO)是一个关心厕所和公共卫生问题的非营利组织,2001年成立,总部位于新加坡,每年会在不同的地方举行世界会(World Toilet Summit)。目
- 太医令太医令,中国古代医官名。掌管医事行政的最高长官,太医署或太医院的行政长官。太医令俸六百石,为太医之长,掌管诸医。战国时秦国置,为侍医之长。“秦制二十等爵以赏功劳”,太医令的
- 相容性组织相容性 (Histocompatibility) 指将一个体的组织移植至另一个体时,其免疫系统的反应程度。相容性越高,免疫(或称排斥)反应程度越低,甚至没有免疫/排斥反应发生。二个不同的
- 恩氟醚恩氟醚(英文Enflurane,系统命名法名称(2-氯-1,1,2-三氟乙基)二氟甲基醚),是一种卤代醚麻醉药,适用于全身麻醉。本药由罗斯·特雷尔(Robert Terrell)于1963年发明并于三年后首次投入
- 杜卡迪杜卡迪(Ducati Motor Holding S.p.A., NYSE:DMH)是一家意大利摩托车生产商,总部位于意大利的博洛尼亚。其产品由于卓越的性能以及意大利特色的设计而闻名。奥迪汽车在2012年4月
- 590110 数学 120 信息科学与系统科学 130 力学 140 物理学 150 化学 160 天文学 170 地球科学 180 生物学210 农学 220 林学 230 畜牧、兽医科学 240 水产学310
- 四因说四因说(four causes),由古希腊哲学家亚里士多德提出,将世界上事物的变化与运动的背后原因(古希腊语:αἴτιον)归纳为四大类。四因包括:亚里士多德认为,凡感性实体,包括自然物和人
- 心肌症心肌病变(英语:cardiomyopathy)是一组会影响心肌之疾病的通称。早期的症状可能很轻微,甚至没有症状。有些会是因为心脏衰竭而有呼吸困难、容易疲倦或脚部水肿的情形,可能会有心律
- 授权许可(英语:license)是为避免非法所采取的法律允许行为,亦可以指该允许行为的书面协议。当许可作为名词指称协议时,依然称许可,但实际情况会在其后添加条款或协议等词。许可人可以