整数分拆

✍ dations ◷ 2025-06-28 05:54:32 #整数分拆
一个正整数可以写成一些正整数的和。在数论上,跟这些和式有关的问题称为整数拆分、整数剖分、整数分割、分割数或切割数(英语:Integer partition)。其中最常见的问题就是给定正整数 n {displaystyle n} ,求不同数组 ( a 1 , a 2 , . . . , a k ) {displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{k})} 的数目,符合下面的条件:分割函数p(n)是求符合以上第一、二个条件的数组数目。4可以用5种方法写成和式:4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1。因此 p ( 4 ) = 5 {displaystyle p(4)=5} 。定义 p ( 0 ) = 1 {displaystyle p(0)=1} ,若n为负数则 p ( n ) = 0 {displaystyle p(n)=0} 。此函数应用于对称多项式及对称群的表示理论等。分割函数p(n),n从0开始:每种分割方法都可用Ferrers图示表示。Ferrers图示是将第1行放 a 1 {displaystyle a_{1}} 个方格,第2行放 a 2 {displaystyle a_{2}} 个方格……第 k {displaystyle k} 行放 a k {displaystyle a_{k}} 个方格,来表示整数分割的其中一个方法。借助Ferrers图示,可以推导出许多恒等式:证明:将表示前者其中一个数组的Ferrers图示沿对角线反射,便得到后者的一个数组。即两者一一对应,因此其数目相同。例如 k=3,n=6:此外,例如 n = 8 {displaystyle n=8} :p ( n ) {displaystyle p(n)} 的生成函数是当|x|<1,右边可写成:p ( n ) {displaystyle p(n)} 生成函数的倒数为欧拉函数,利用五边形数定理可得到以下的展开式:将 p ( n ) {displaystyle p(n)} 生成函数配合五边形数定理,可以得到以下的递归关系式其中 q i {displaystyle q_{i}} 是第 i {displaystyle i} 个广义五边形数。一个杨氏矩阵与一个整数分拆一一对应,也就是说整数分拆的个数等于相应的杨氏矩阵的个数。如图表示一个10=5+4+1的分拆。利用杨氏矩阵来表示的 分拆更具有直观性,和可处理性,下面是几个例子。整数分拆(10=5+4+1)对应的杨氏矩阵沿x=y轴翻转得到新的杨氏矩阵。它对应分拆为10=3+2+2+2+1。渐近式:这式子是1918年哈代和拉马努金,以及1920年J. V. Uspensky独立发现的。1937年,Hans Rademacher得出一个更佳的结果:其中( m , n ) = 1 {displaystyle (m,n)=1} 表示 m , n {displaystyle m,n} 互质时才计算那项。 s ( m , k ) {displaystyle s(m,k)} 表示戴德金和。这条公式的证明用上了和戴德金η函数、福特圆(英语:Ford circle)、法里数列、模群(英语:Modular group)。在将 n {displaystyle n} 表示成正整数之和的所有和式之中,任意正整数 r {displaystyle r} 作为和项出现在这些式子内的次数,跟每条和式中出现 r {displaystyle r} 次或以上的正整数数目,相同。当 r = 1 {displaystyle r=1} 时,此定理又称为Stanley定理。以 n = 5 {displaystyle n=5} 为例:以下叙述带有附加条件的分拆。考虑满足下面条件分拆及分拆的每个数都不相等。生成函数是考虑满足下面条件分拆生成函数是差分拆的个数与奇分拆的个数是一样多的。可以通过杨表证明。当限定将 n {displaystyle n} 表示成刚好 k {displaystyle k} 个正整数之和时,可以表示为 p k ( n ) {displaystyle p_{k}(n)} 。显然, p ( n ) = ∑ k = 1 n p k ( n ) {displaystyle p(n)=sum _{k=1}^{n}p_{k}(n)} 。不少数学家亦有研究按以下方式分拆的方法数目:

相关

  • 音叉音叉由弹性金属(多为钢)制成,末有一柄,两端分叉,型如拉丁字母‘U’。音叉拥有一固定的共振频率,受到敲击时则震动,在等待初始时的泛音列过去后,音叉发出的音响就具有固定的音高。一
  • 汉诺威汉诺威(德语:Hannover)位于莱讷河畔,德国下萨克森州的首府,位于北德平原和中德山地的相交处,既处于德国南北和东西铁路干线的交叉口,又濒临中德运河,是个水陆辐辏的交通枢纽。汉诺威
  • 自然主义自然主义通常是指综合唯物主义和实用主义、不探究自然界中超自然因素的哲学立场,其理论基础认为所有现象皆可用自然理由的概念解释。自然主义不一定认为超自然现象和对于不存
  • 蒙医蒙古族传统医学,简称蒙医学,是流传在蒙古地方的一种传统医学,是蒙古民族医药学理论和治疗方法所形成的民族医学。真实的起源以不可考,但相信其针灸、草药、推拿等方式是汉朝以前
  • 闪光灯闪光灯,是在摄影时所使用的人造光源。当按下照相机的快门之后,通常在1/1000到1/200秒之间,照亮场景。最早的闪光灯可以追溯到1887年,诞生于德国的用于摄影的闪光灯。早期的闪光
  • 帕林卡帕林卡(Pálinka)是一种生产在喀尔巴阡盆地的传统水果白兰地,发明与中世纪时期。帕林卡主要生产于匈牙利和奥地利。帕林卡主要使用的水果有李、杏、苹果、梨、樱桃.。帕林卡在
  • 拿破仑的短暂复辟反法同盟决定性胜利;巴黎条约第七次反法同盟:百日王朝(法语:Cent-Jours)是指拿破仑一世在被流放后重返法国,试图重建法兰西第一帝国的一连串事件。1815年3月20日,拿破仑从厄尔巴岛
  • 猪圆环病毒猪圆环病毒(Porcine circovirus,PCV)是一种单链DNA病毒(class II),无囊膜,单股环状。病毒衣壳呈20面体对称结构,直径约17 nm。猪圆环病毒属圆环病毒科圆环病毒属。猪圆环病毒是在
  • 麝香麝香(别名:寸香、原寸、香脐子、当门子;拉丁名:Moschus)为脊索动物门哺乳纲麝科动物,如林麝(Moschus berezovskii)、马麝(Moschus sifanicus)或原麝(Moschus moschiferus)等成熟雄体位于
  • 彗发彗发,是环绕在彗核周围的云状物。彗星在绕太阳的轨道上运转,当接近太阳时,太阳的热力会使彗核物质熔解并升华为气体,就形成了彗发;但要注意的是,彗发并不包括彗尾(下段另述)。彗发的