超方形

✍ dations ◷ 2025-04-02 16:37:06 #超方形
在几何学中,超方形(英语:Hypercube),又称立方形、正测形(Measure Polytope)是指正方形和立方体的n维类比(对于正方形,n=2,对于立方体,n=3)。它是一类封闭的、紧致的、凸的图形,它们的1维骨架(英语:skeleton (topology))是由一群在其所在空间对准每个维度整齐排列的等长的线段组成的,其中相对的线段互相平行,而相交于一点的线段则互相正交。在n维空间中单位超方形(棱长为1)的对角线长等于 n {displaystyle {sqrt {n}}} .一个n维的超方形又被叫做n-超方形。“正测形”(Measure Polytope)也是一个常用的名字,尤其是在H.S.M.考克斯特的文章中(这个词最先是由Elte,1912发明的),但它现在已被“超方形”和“立方形”代替了。(而然在日本,由“Measure Polytope”翻译过来的“正测形”仍在使用)超方形是一种特殊的超矩形(英语:Hyperrectangle)(也被叫做正交形)。一个单位超方形是棱长为1个单位长度的超方形。通常,一个角(或叫顶点)是2n个在Rn中的各坐标值等于0或1的点的超方形被特指为在这个坐标系下的基本单位超方形。这个过程可以被推进到任意维度。这个扫出体积的过程可以被数学形式化为闵可夫斯基和:d维超方形是d个互相垂直的单位长度线段的闵可夫斯基和,因此超方形是环带多面体的一个很好的例子。超方体的1阶骨架(英语:Skeleton (topology))是一个超方形图(英语:hypercube graph)。n维的单位超方形是所有由直角坐标系 ( ± 1 2 , ± 1 2 , ⋯ , ± 1 2 ) {displaystyle left(pm {frac {1}{2}},pm {frac {1}{2}},cdots ,pm {frac {1}{2}}right)} 的所有符号排列所对应的点组成的凸包。它的棱长为1,而它的n维超体积是1。一个n维超方形有时也被表示为直角坐标 ( ± 1 , ± 1 , ⋯ , ± 1 ) {displaystyle (pm 1,pm 1,cdots ,pm 1)} 的所有符号排列所对应的点组成的凸包。这顶点坐标写法因为简便而经常被使用。它的棱长是2,而n维超体积是2n。超方形家族是少有的几个在任何维度都出现的正多胞形家族之一。超方形家族是三个正多胞形家族之一,被考克斯特标记为γn。另外两个是超方形对偶正轴形家族,标记为βn,以及正单纯形家族,标记为αn。例外,还有第四个不由凸正多胞形而是正无穷胞形,即超空间密铺组成的家族超方形堆砌家族,标记为δn,它们是超方形的超空间密铺。另外一个与超方形相关的由一系列半正多胞形(英语:Uniform polytope)组成的半正家族是半超方形家族,它们可由交错地删除对应维度超方形的顶点并在切口上添加新的正单纯形面来构造,标记为hγn。任何一个n-超方体(n>0)都是由低维的超方形元素组成的:它的(n-1)维表面(“维面”)是(n-1)维的超方形,它的(n-2)维边缘(“维脊”)是(n-2)维的超方形,它的(n-3)维元素(“维顶”)是(n-3)维的超方形…… n维的超方形有2n个维面(一维线段有两个端点;二维正方形有4条边或叫棱;三维立方体有6个面;四维超正方体有8个胞……)和 2 n {displaystyle 2^{n}} 个顶点(例如,立方体有 2 3 {displaystyle 2^{3}} 个顶点)。一个简单的计算n-超方体"n-2"-面个数的公式是: 2 n 2 − 2 n {displaystyle 2n^{2}-2n}n-超方形表面上m维超方形(0≤m≤n)的个数是:例如,四维超正方体(n=4)包含了8个立方体(3-超方体)、24个正方形(2-超方体)、32个线段(1-超方体)和16个点(0-超方体)。这个特性能够用组合学来证明。 2 n {displaystyle 2^{n}} 个顶点中的每一个都决定了n-超方体的一个 m {displaystyle m} 维表面。我们有 ( n m ) {displaystyle {begin{smallmatrix}{n choose m}end{smallmatrix}}} 种方法来选择哪些线段(“边”)决定了这表面所在的空间。但是因为每个表面都有 2 m {displaystyle 2^{m}} 个顶点,所以每个表面都被算了 2 m {displaystyle 2^{m}} 次,因此我们需要将结果再除以这个数。由此我们得到了上述性质。这个结果也能被递推关系式产生出来。例如,将二维空间中的正方形向三维空间延伸,在4个顶点处延伸出4条棱,最后加上第二个正方形来形成一个立方体,我们能算出总共有 E 1 , 3 {displaystyle E_{1,3}!} = 12 条棱。-​-​{}​{4,3}​{4,3,3}​{4,3,3,3}​{4,3,3,3,3}​{4,3,3,3,3,3}​{4,3,3,3,3,3,3}​{4,3,3,3,3,3,3,3}​{4,3,3,3,3,3,3,3,3}​{4,3,3,3,3,3,3,3,3,3}​一个n维超正方体能通过一个扭曲正交投影(英语:Petrie_polygon#The_hypercube_and_orthoplex_families)投影到2n边形中,这里展示出了从线段到十三维超正方体的13个超方形。n-超方体的棱的图像等距同构于(n-1)-单纯形的表面框架(英语:Convex polytope#The_face_lattice)的哈斯图。这种特殊关系可以通过以适当的角度看n-超方体使得相对的两个顶点处在图像的两个顶点,对应于(n-1)-单纯形自己和空集元素。每一个与最上方的顶点相连的顶点唯一的映射到(n-1)-单纯形的维面,再与之相连的顶点映射到单纯形的维脊,如此等等,并且与最下方的顶点相连的顶点映射到单纯形的棱。这个特殊关系可以被用来高效地产生(n-1)-单纯形的表面框架,毕竟可用于计算所有多胞形表面框架的一般方法在计算上比较困难。

相关

  • 拾破烂者病羊毛工病是炭疽病中透过吸入病原体的一种,其名称来自早其主要的感染者,多为接触动物制品或排泄物而受到感染。
  • PbSsub2/sub二硫化铅是一种无机化合物,化学式为PbS2。这种物质可由硫化铅与硫在600°C以上高压加热制得。PbS2与二硫化锡(SnS2)类似,晶型为碘化镉型,因此可以证明铅是+4价的。
  • 作功德做功德可以指:
  • 大维多利亚沙漠大维多利亚沙漠 (The Great Victoria Desert) 位于澳洲内陆西南部,跨南澳大利亚州和西澳大利亚州,北接吉布森沙漠,南邻纳拉伯平原。东西长1000多公里,最宽约550公里,面积达424,40
  • 颗粒燃料颗粒燃料(英语:Pellet fuel)是从生物质压缩制成的供暖燃料。最常用类型是木颗粒。作为木头燃料的一种形式,木颗粒通常从锯木及其他木制品产生的压实的锯末或其他废物制成。其他
  • 霍梅尼赛义德鲁霍拉·穆斯塔法维·穆萨维·霍梅尼(波斯语:سید روحاللّه مصطفوی موسوی خمینی‬‎,转写:Sayyid Rūhollāh Musavi Khomeinī  发音 帮助·
  • 猫肉猫肉是以猫为原料的肉食。人类在史前时代就有食用猫肉的记录,而部分国家至今仍有食用猫肉的传统,这是不违法的(只要不是偷窃他人家猫或食用保育类品种等)。如中国两广地区、越南
  • 新竹市公共自行车新竹市公共自行车租赁系统是台湾新竹市的公共自行车租赁系统,由新竹市政府交通处与微笑单车公司合作建置,采用YouBike系统,于2016年5月26日开始营运,截至2018年6月11日共设有49
  • 自闭症谱系障碍自闭症谱系(英语:Autism spectrum)是一种心理状况的谱系障碍,亦称自闭症谱系障碍(英语:autism spectrum disorders,简写ASD;或autism spectrum conditions,简写ASC)或泛自闭症障碍,描述
  • AgPFsub6/sub六氟磷酸银是一种无机化合物,化学式为AgPF6。六氟磷酸银是一种常见的无机和金属有机化学试剂。它常用于提供弱配位六氟磷酸根阴离子,来取代卤化物配体;反应由生成相应的卤化银