哥德尔完备性定理

✍ dations ◷ 2025-10-29 13:09:48 #哥德尔完备性定理

哥德尔完备性定理是数理逻辑中重要的定理，在1929年由库尔特·哥德尔首先证明。它的最熟知的形式声称在一阶谓词演算中所有逻辑上有效的公式都是可以证明的。上述词语“可证明的”意味着有着这个公式的形式演绎。这种形式演绎是步骤的有限列表，其中每个步骤要么涉及公理要么通过基本推理规则从前面的步骤获得。给定这样一种演绎，它的每个步骤的正确性可以在算法上检验（比如通过计算机或手工）。如果一个公式在这个公式的语言的所有模型中都为真，它就被称为“逻辑上有效”的。为了形式的陈述哥德尔完备性定理，你必须定义这个上下文中词语“模型”的意义。这是模型论的基本定义。在另一个方向上，哥德尔完备性定理声称一阶谓词演算的推理规则是“完备的”，在不需要额外的推理规则来证明所有逻辑上有效的公式的意义上。完备性的逆命题是“可靠性”。一阶谓词演算的实情是可靠的，就是说，只有逻辑上有效的陈述可以在一阶逻辑中证明，这是可靠性定理断言的。处理在不同的模型中什么为真的数理逻辑分支叫做模型论。研究在特定形式系统中什么为可以形式证明的分支叫做证明论。完备性定理建立了在这两个分支之间的基本联系。给出了在语义和语形之间的连接。但完备性定理不应当被误解为消除了在这两个概念之间的区别；事实上另一个著名的结果哥德尔不完备定理，证实了对“在数学中什么是形式证明可以完成的”有着固有的限制。不完备定理的名声与另一种意义的“完备”有关，参见模型论。更一般版本的哥德尔完备性定理成立。它声称对于任何一阶理论T和在这个理论中的任何句子S，有一个S的自T的形式演绎，当且仅当S被T的所有模型满足。这个更一般的定理被隐含使用，例如，在一个句子被证实可以用群论的公理证明的时候，通过考虑一个任意的群并证实这个句子被这个群所满足。完备性定理是一阶逻辑的中心性质，不在所有逻辑中成立。比如二阶逻辑就没有完备性定理。完备性定理等价于超滤子引理，它是弱形式的选择公理，在不带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论中有着等价的可证明性。对定理的最初证明的解释请参见哥德尔完备性定理的最初证明。在现代逻辑课本中，哥德尔完备性定理通常使用Leon Henkin的证明而不是哥德尔最初的证明。

相关

季节性流感疫苗季节性流感疫苗，常简称流感疫苗，是针对流行性感冒的疫苗。因为流感病毒变化的速度很快，一年会发展新的流感疫苗两次。大部分状况下，疫苗有中度到高度的保护力；然而每年情况略有
负染色法负染色法（Negative stain）是一种染色方法，常用于不透光液体标本的镜检。由于其染色处理过程并非针对菌体本身，故又称“衬托染色法”、“间接染色法”。在负染色法中，标本不需要热
活性炭活性炭（英语：Active charcoal），亦称活性碳（英语：Active carbon）、活化炭（英语：Activated charcoal；Activated char）或活化碳（英语：Activated carbon），是黑色粉末状或颗粒状的碳物质。活性炭
传导系统心脏电传导系统（Electrical conduction system of the heart）可以使窦房结产生的脉动传播至心肌，并刺激心肌使其收缩。这种节奏性地刺激心肌使得心肌可以有效地收缩，将血液输运
卡马西平卡马西平（Carbamazepine，简称CBZ），商品名得理多（Tegretol）是一种治疗癫痫病和神经性疼痛（英语：neuropathic pain）的药物。同样能治疗癫痫病的还有苯妥英及丙戊酸等等，但对失神性发作（英
雅典式民主雅典式民主或古希腊式民主是在公元前508年于古希腊城邦雅典（包括雅典的中心城邦及其周边的阿提卡地区）发展出的一套民主体系。雅典也因此成为最早的民主政体之一。虽然其他的
犹太人饮食犹太人饮食是指分布在世界各地犹太人的饮食文化。犹太人的饮食文化经过了多个世纪的变化，有犹太教中对饮食的规定和犹太节日、安息日传统塑造而成，犹太人饮食文化受定居地经济
百日咳白喉破伤风三联疫苗百白破三联疫苗（英语：Diphtheria Tetanus Pertussis vaccine, DPT，港澳台译为白喉破伤风百日咳混合疫苗），是指百日咳、白喉、破伤风混合的疫苗（三合一疫苗）。它由百日咳疫苗、精制
责任制责任制（Exempt Employee）存在某些工作职位上，原本是指管理、高阶、专业人士，或是创意工作者，因为本身的特殊性质，而不必受到固定上下班时间限制，完成自己负责的工作后即可下班，不需
非认知主义非认知主义（英语：Non-cognitivism）是一种后设伦理理论，认为伦理句子不表达事实，因此不能是真或假。非认知主义与认知主义相反，而认为道德知识是不可能存在。