测度收敛

✍ dations ◷ 2025-06-09 15:59:49 #测度收敛

测度收敛是测度论中的一个概念：假设可测空间上有一个有趣却很难直接构造的测度μ，我们希望能找到一列相对容易构造或分析的测度 μ，随着n的增大，μ的性质与μ越来越相似。 '越来越相似' 和一般的序列的极限的想法一致：对于任何可接受的误差 ε > 0 ，只要充分大，对于任何 ≥ ， μ 和 μ 之间的'差别'小于 ε。收敛的定义也就取决于'差别'的定义。这些定义可能互相不等价，强弱有别。

下面介绍3种最常见的测度收敛的定义。

在数学和统计学种, 弱收敛 (即为泛函分析中的弱*收敛)是测度论中广泛应用的一种收敛。下面是几种测度弱收敛的等价定义。这些等价定义被称为 portmanteau定理.

定义。为拥有 Borel σ-代数 Σ的度量空间。我们称一列(, Σ)上的概率测度 , = 1, 2, ..., 弱收敛于概率测度 , （记为

如果下面任何一条条件得到满足 ( E 为关于概率的数学期望，E 为关于概率的数学期望):

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