测度收敛

✍ dations ◷ 2025-02-24 06:13:52 #测度收敛

测度收敛是测度论中的一个概念: 假设可测空间上有一个有趣却很难直接构造的测度μ,我们希望能找到一列相对容易构造或分析的测度 μ,随着n的增大,μ的性质与μ越来越相似。 '越来越相似' 和一般的 序列的极限的想法一致: 对于任何可接受的误差 ε > 0 ,只要 充分大, 对于任何 ≥ , μ 和 μ 之间的'差别'小于 ε。 收敛的定义也就取决于'差别'的定义。 这些定义可能互相不等价,强弱有别。

下面介绍3种最常见的测度收敛的定义。

在 数学 和 统计学种, 弱收敛 (即为泛函分析中的 弱*收敛)是 测度论中广泛应用的一种收敛。 下面是几种测度弱收敛的等价定义。 这些等价定义被称为 portmanteau定理.

定义。 为拥有 Borel σ-代数 Σ的 度量空间 。我们称一列(, Σ)上的 概率测度 , = 1, 2, ..., 弱收敛于概率测度 , (记为

如果下面任何一条条件得到满足 ( E 为关于概率 的数学期望,E 为关于概率 的数学期望):

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