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费马素性检验

✍ dations ◷ 2025-12-09 19:08:10 #素性测试,同余

费马素性检验是一种素数判定法则，利用随机化算法判断一个数是合数还是素数。

根据费马小定理：如果是素数， $1\leq a\leq p-1$ 是否是素数，我们在中间选取，看看上面等式是否成立。如果对于数值等式不成立，那么是合数。如果有很多的能够使等式成立，那么我们可以说可能是素数，或者伪素数。

在我们检验过程中，有可能我们选取的都能让等式成立，然而n却是合数。这时等式

被称为。如果我们选取满足下面等式的

那么也就是对于的合数判定的。

整个算法可以写成是下面两大部：

若使用模指数运算的快速算法，这个算法的运行时间是O(×log3)，这里是一个随机的需要检验的次数，是我们想要检验的数。

众所周知，对于卡米歇尔数，全部令gcd(,)=1的都是费马骗子数（Fermat liars）。尽管卡米歇尔数很是稀有，但是却足够令费马素性检验无法像如米勒-拉宾和Solovay-Strassen的素性检验般，成为被经常实际应用的素性检验。

一般的，如果不是卡米歇尔数，那么至少一半的

是费马证人数（Fermat witnesses）。在这里，令为费马证人数、₁, ₂, ..., 为费马骗子数。那么

所有的×_i for = 1, 2, ..., 都是费马证人数。

加密程序PGP在算法当中用到了这个素性检验方法。

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