光滑函数

光滑函数（smooth function）在数学中特指无穷可导的函数，也就是说，存在所有有限阶导数。若一函数是连续的，则称其为${\displaystyle C^0}$函数；若函数存在导函数，且其导函数连续，则称为连续可导，记为${\displaystyle C^1}$函数；若一函数${\displaystyle n}$阶可导，并且其${\displaystyle n}$阶导函数连续，则为${\displaystyle C^n}$函数（${\displaystyle n\ge <!--\; \ge \; -->1}$）。而光滑函数是对所有${\displaystyle n}$都属于${\displaystyle C^n}$函数，特称其为${\displaystyle C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$函数。

例如，指数函数显然是光滑的，因为指数函数的导数是指数函数本身。

构造在给定区间外为零但在区间内非零的光滑函数经常很有用。这是可以达到的；另一方面来讲，一个幂级数不可能有这样的属性。这表明光滑和解析函数之间存在着巨大的鸿沟；所以泰勒定理一般不可以应用到展开光滑函数。

要给出这样的函数的显式构造，我们从构造如下的函数开始

开始先对${\displaystyle x>0}$定义。我们不但有

而且对于所有多项式${\displaystyle P}$,有

因为负指数的指数增长起支配作用。这意味着对于设定${\displaystyle f(x)=0}$将给出一个光滑函数。像${\displaystyle f(x)f(1-<!--\; -\; -->x)}$这样的组合可以以任何给定区间为支撑构成；在这个特例中，该区间是${\displaystyle }$。这样的函数从${\displaystyle 0}$开始有特别慢的‘启动’。

参看非解析无穷可微函数。

用复分析的术语考虑，如下的函数

对于${\displaystyle z}$取任何实数值是光滑的，但在${\displaystyle z=0}$有一个本质奇点。也就是，在${\displaystyle z=0}$附近的行为不好；但恰巧只看实参数时无法让我们发现这一点。

给定闭支撑的光滑函数用于构造光滑单位分解（参看拓扑学术语单位分解条目）；这在光滑流形的研究中有基本的作用，例如在证明黎曼度量可以从他们的局部存在性全局的定义时。一个简单的情形是实直线上的一个突起函数，一个光滑函数${\displaystyle f}$在区间${\displaystyle }$外为${\displaystyle 0}$，并且使得

给定一些直线上的互相重叠的区间，可以在每个区间上构造突起函数，在半无限区间（${\displaystyle -<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},c]}$和${\displaystyle [d,+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$）上也可以，以覆盖整条直线，使得函数的和总是${\displaystyle 1}$。

根据前面所说，单位分解不适用于全纯函数；它们的对于存在性和解析连续的不同行为是层论的根源之一。作为对比，光滑函数的层趋向于不包含很多拓扑信息。

光滑流形之间的光滑映射可以用坐标图的方式来定义。因为函数的光滑性的概念和特定的坐标图的选取无关。这样的映射有一个一阶导数，定义在切向量上；它给出了在切丛的级别上的对应纤维间的线性映射。

在需要讨论所有无穷可微函数的集合时，以及该空间的元素在微分和积分、求和、取极限时的行为时，人们发现所有光滑函数的空间不是一个合适的选择，因为它在这些操作下不是完备和闭合的。对于这个情况的一个正确处理，我们可以采用索伯列夫空间（Sobolev space）的概念。