幸运数

✍ dations ◷ 2025-09-13 22:36:51 #整数数列

幸运数是经由类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合，是在1955年波兰数学家乌拉姆提出。

由一组由1开始的数列为例：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,...

先将所有偶数删去，只留下奇数：

1,    3,    5,    7,    9,   11,   13,   15,   17,   19,   21,   23,   25,...

然后把数列中的第 $2 {\displaystyle 2}$ $2$ 个数字(设该数字为 $x {\displaystyle x}$ $x$ )的倍数对应的数删除，即把所有第 $nx,x\in \mathbb {Z^{+}}$ $nx,x\in \mathbb {Z^{+}}$ 个数删除，例如上述例子中，第 $2 {\displaystyle 2}$ $2$ 数字是 $3 {\displaystyle 3}$ $3$ ，所以删去所有第 $3n$ $3n$ 个数：

1,    3,          7,    9,         13,   15,         19,   21,         25,...

新数列的第 $3 {\displaystyle 3}$ $3$ 项(每次都加上 $1 {\displaystyle 1}$ $1$ )为 $7 {\displaystyle 7}$ $7$ ，因此将新数列的第 $7n$ $7n$ 个数删除：

1,    3,          7,    9,         13,   15,               21,         25,...

若一直重复上述的步骤，最后剩下的数就是幸运数 A000959:

幸运数有部分特性和素数相同，例如幸运数的分布情形也可用素数定理来分析，而哥德巴赫猜想与孪生素数猜想也有以幸运数为基准的版本。

幸运数有无限多个。但目前不确定是否存在无限个幸运素数（lucky prime）：

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