论物理力线

《论物理力线》（英语：）是詹姆斯·麦克斯韦于1861年发表的一篇论文。在这篇论文里，他阐述了可以比拟各种电磁现象的“分子涡流理论”，和电势移的概念，又论定光波为电磁波。麦克斯韦又将各种描述电磁现象的定律整合为麦克斯韦方程组。

引力、电场力和磁场力都遵守平方反比定律。给予一个引力源于空间的某位置，在空间的任何其它位置，放入一个具有质量的检验粒子，则此检验粒子所感受到的引力的大小必定与距离的平方成反比。从检验粒子在各个位置所感受到的引力，可以绘出很多条不同的力线，又称为场线。在这引力线的每一点，引力的方向必定正切于引力线。电场力和磁场力也会产生类似的现像。假设将一堆铁粉铺洒在一块磁铁的四周，这些铁粉会依著磁场力的方向排列，形成一条条的曲线，在曲线的每一点表现出磁场的存在和磁力线的方向。这明确地显示出磁力线是一种真实现像。假若铁粉感受到的是直接由磁铁施加的作用力，则这是一种超距作用（action at a distance）。

麦克斯韦觉得，虽然超距作用能够满意地计算出很多电磁现象，但是，超距作用不能解释整个图案。麦克斯韦主张用场论解释：早在铺洒铁粉之前，磁铁就已经在四周产生磁场；不论铺洒铁粉了没有，磁场都存在；磁铁并不是直接施加力量于铁粉，而是经过磁场施加力量于铁粉；也就是说，铁粉感受到的是磁场的作用力。在遥远的那一端的铁粉怎么知道这一端有一块磁铁？超距作用是否违反了定域性能量守恒定律？这两个电荷之间到底是真空，还是存在着像乙太一类的某种传递电磁信息的媒介？麦克斯韦希望能够给予这诸多问题合理的解答。麦克斯韦这样陈述：

由于法拉第效应显示出，在通过介质时，偏振光波会因为外磁场的作用，转变偏振的方向，因此，麦克斯韦认为磁场是一种旋转现象。在他设计的“分子涡流模型”里，他将力线延伸为“涡流管”。许多单独的“涡胞”（涡旋分子）组成了一条条的涡流管。在这涡胞内部，不可压缩流体绕着旋转轴以均匀角速度旋转。由于离心力作用，在涡胞内部的任意微小元素会感受到不同的压强。知道这压强的分布，就可以计算出微小元素感受到的作用力。透过分子涡流模型，麦克斯韦详细地分析与比拟这作用力内每一个项目的物理性质，合理地解释各种磁场现象和其伴随的作用力。

麦克斯韦对于分子涡流模型提出几点质疑。假设邻近两条磁力线的涡胞的旋转方向相同。假若这些涡胞之间会发生摩擦，则涡胞的旋转会越来越慢，终究会停止旋转；假若这些涡胞之间是平滑的，则涡胞会失去传播信息的能力。为了要避免这些棘手的问题，麦克斯韦想出一个绝妙的点子：他假设在两个相邻涡胞之间，有一排微小圆珠，将这两个涡胞隔离分开。这些圆珠只能滚动（rolling），不能滑动。圆珠旋转的方向相反于这两个涡胞的旋转方向，这样，就不会引起摩擦。圆珠的平移速度是两个涡胞的周边速度的平均值。这是一种运动关系，不是动力关系。麦克斯韦将这些圆珠的运动比拟为电流。从这模型，经过一番复杂的运算，麦克斯韦能够推导出安培定律、法拉第感应定律等等。

麦克斯韦又给予这些涡胞一种弹性性质。假设施加某种外力于圆珠，则这些圆珠会转而施加切力于涡胞，使得涡胞变形。这代表了一种静电状态。假设外力与时间有关，则涡胞的变形也会与时间有关，因而形成了电流。这样，麦克斯韦可以比拟出电势移和位移电流。不但是在介质内，甚至在真空（麦克斯韦认为完美真空不存在，乙太弥漫于整个宇宙。与普通物质不同，麦克斯韦假想的乙太具有能量与动量，因此可以说具有质量，但是牛顿万有引力定律不适用于它，因为它没有重量。），只要有磁力线，就有涡胞，位移电流就可以存在。因此，麦克斯韦将安培定律加以延伸，增加了一个有关于位移电流的项目，称为“麦克斯韦修正项目”。聪明睿智的麦克斯韦很快地联想到，既然弹性物质会以波动形式传播能量于空间，那么，这弹性模型所比拟的电磁场应该也会以波动形式传播能量于空间。不但如此，电磁波还会产生反射，折射等等波动行为。麦克斯韦计算出电磁波的传播速度，发觉这数值非常接近于，先前从天文学得到的，光波传播于行星际空间的速度。因此，麦克斯韦断定光波就是一种电磁波。

在那时候，已经存在有很多试着解释电磁现象的物理模型，例如，流体模型，波动模型，热传导模型等等。麦克斯韦特别提到了物理大师威廉·汤姆孙的“弹性固体模型”。在这模型里，感受到磁场力的作用，固体的每一颗粒子都会产生角位移（Angular displacement），其转动轴与磁场力同方向，其大小与磁场力的大小成正比；感受到电场力的作用，固体的每一颗粒子都会产生绝对位移，其方向与电场力相同，其大小与电场力的大小成正比；感受到电流的作用，电流经过的每一颗粒子都会产生相对于邻居粒子的相对位移，其方向与电流相同，其大小与电流的大小成正比。由于具有弹性，这个模型可以比拟电场和磁场的传播，又由于固体粒子会因为磁场的作用而产生角位移，这个模型也可以解释法拉第效应。但是，汤姆孙并没有对电场力和磁场力的产生给予解释。

麦克斯韦在他的1855年论文《论法拉第力线》里，将法拉第想出的力线延伸为装满了不可压缩流体的“力管”。这力管的方向代表力场（电场或磁场）的方向，力管的截面面积与力管内的流体速度成反比，而这流体速度可以比拟为电场或磁场。这力管有一个特点，位于截面面积的每一点感受到的压强相等，而且，这压强具有均向性。但是，这力管模型的功能有限。由于力管模型的流体处于稳定状态，不具有质量性质，力管模型只能比拟静电学和静磁学的现象，无法比拟电磁感应，电势移等等现象。 为了要从机械流体观点来了解磁场现象，麦克斯韦设计出来的分子涡流模型具有更多的功能，他将力管延伸为“涡流管”。许多单独的“涡胞”（涡旋分子）组成了一条条的涡流管。在这涡胞内部，不可压缩流体绕着旋转轴以均匀角速度 ${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$ 旋转。采用圆柱坐标，处于与旋转轴径向距离为 ${\displaystyle r}$ 的位置的微小流体元素 ${\displaystyle r\mathrm{d}r\mathrm{d}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\mathrm{d}z}$ ，所感受到的离心力 ${\displaystyle \mathrm{d}{F}_c}$ 为

其中，${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$ 是流体的密度，是一个常数。

因为旋转运动，这微小流体元素所感受到的离心压强 ${\displaystyle \mathrm{d}{p}_c}$ 为

所以，位于涡胞周边的离心压强 ${\displaystyle p_{c_R}}$ 为

其中，${\displaystyle R}$ 是涡胞的半径，${\displaystyle v=R\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$ 是流体位于周边的周边速度。

这方程也可以用来近似其它不规则形状涡胞案例，为了便利计算，麦克斯韦设定常数 ${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$ 。这常数也是流体密度的估计。那么，位于旋转轴的压强 ${\displaystyle p_0}$ 与位于涡胞周边的周边压强 ${\displaystyle p_R}$ 的关系为

再经过一番计算，可以得到平均压强 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{p}}$ 为

麦克斯韦想像整个涡胞的压强为，朝着每个方向的压强 ${\displaystyle p_R}$ ，加上朝着旋转轴方向的张力 ${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{v}^2/4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$ 。所以，朝着磁力线方向，是压强最小的方向，涡胞趋向于收缩。在稳定状态时，涡胞与涡胞之间作用于对方的压强同样是周边压强 ${\displaystyle p_R}$ ；否则，周边压强较大的涡胞会膨胀，而周边压强较小的涡胞会缩小。

得到了涡胞的压强分布，麦克斯韦可以着手计算涡胞内部的应力：

其中，${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$ 、${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$ 、${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$ 分别为流体速度 ${\displaystyle v}$ 对于x-轴、y-轴、z-轴的分量。

应用应力平衡定律，作用于涡胞内部的单位体积作用力，朝着x-方向的分量 ${\displaystyle X}$ ，与应力的关系为

经过一番运算，可以得到 ${\displaystyle X}$ 关系式

麦克斯韦将 ${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$ 、${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$ 、${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$ 分别比拟为磁场强度 ${\displaystyle \mathbf{H}}$ 的三个分量，${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$ 比拟为磁导率，${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$ 、${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$ 、${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$ 分别比拟为磁感应强度 ${\displaystyle \mathbf{B}}$ 的三个分量。这样，磁荷 ${\displaystyle q_m}$ 不等于零的高斯磁定律的方程表示为

${\displaystyle X}$ 关系式右手边的第一个项目是磁感应强度乘以磁荷，也就是磁荷感受到的磁场力。由于磁单极子并不存在，这项目等于零。

流体的单位体积动能是 ${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^2+{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^2)=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{v}^2}$ 。动能对于位置的偏导数是作用力。所以，${\displaystyle X}$ 关系式的右手边的第二个项目是朝着流体动能增加的方向的作用力。当介质的密度小于流体的密度时，流体会朝着动能增加的方向流去；反之，当介质的密度大于流体的密度时，流体会朝着相反方向流去。比拟至电磁学，这项目是由于磁能而产生的作用力。假若电介质的磁导率大于物体的磁导率，则物体会朝着磁能量较低（磁场较低）的区域移动；反之，假若电介质的磁导率小于物体的磁导率，则物体会朝着磁能量较高（磁场较高）的区域移动:167。

${\displaystyle X}$ 关系式右手边的第三个项目和第四个项目的括号内部的表达式，分别比拟为电流密度的z-分量 ${\displaystyle {\mathfrak{p}}_z}$ 和y-分量 ${\displaystyle {\mathfrak{p}}_y}$ ：

这在下一段落会有详细解释。所以，${\displaystyle X}$ 关系式右手边的第三个项目和第四个项目合并为：

这是处于磁场的载流导线所感受到的安培力的x-分量。所以，这两个项目比拟为安培力。

最后一个项目并没有什么特别意思，只是表示流体压强不均匀分布所产生的作用力。

总结，作用于涡胞内部的单位体积磁场力的三个分量 ${\displaystyle X}$ 、${\displaystyle Y}$ 、${\displaystyle Z}$ 分别为：

紧接着，麦克斯韦提出了几个难题：到底是什么物理因素造成了这些涡胞的自旋？为什么这些涡胞的旋转轴会排列于磁力线，在任意位置，与磁力线同方向？麦克斯韦认为要找到这些问题的答案，必须更进一步地抽丝剥茧、察其根源，必须研究涡胞与电流之间的关系。

思考两个相邻之涡胞，假若其旋转轴方向相同，则其位于周边交界部分的流动元素会以相反方向移动，因而发生摩擦，动量会慢慢地消减。这会影响整个物理模型的持久动态运作。因此，麦克斯韦假设有一排微小圆珠，将这两个涡胞隔离分开。这些圆珠只能滚动（rolling），不能滑动。麦克斯韦设定圆珠的质量超小于涡胞的质量。实际而言，在这篇论文内，所有的计算都没有用到圆珠的质量，所以，可以忽略圆珠的质量。为了避免与涡胞发生摩擦，圆珠的旋转方向正好相反于两旁涡胞的旋转方向。在力学里，这些圆珠称为惰轮（idler-wheel）。麦克斯韦将它们的运动比拟为电流。它们可以说是电子的初始模型。

圆珠的平移速度是两个涡胞的周边速度的平均值。为了方便起见，只计算其中一个涡胞的贡献。那么在这涡胞与圆珠的切点，直线流速为 ${\displaystyle \frac{1}{2}(u_x,u_y,u_z)}$ ：

其中，${\displaystyle n_x}$ 、${\displaystyle n_y}$ 、${\displaystyle n_z}$ 分别为切点的位置矢量对于x-轴、y-轴、z-轴的方向余弦(direction cosine)。

圆珠的平移速度的x-分量是 ${\displaystyle (n_z\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->n_y\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})/2}$ 。思考包含了一个涡胞的微小闭合盒子，其表面圆珠密度为 ${\displaystyle {\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_e}$ ，那么，由于圆珠的移动而增加的动量 ${\displaystyle {\mathfrak{P}}_x}$ 为

其中，${\displaystyle \mathcal{S}}$ 标记总和于微小闭合盒子的表面，${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}s}$ 是朝着盒子外方为正值的微分表面，${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{s}_y}$ 、${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{s}_z}$ 分别是 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}s}$ 对于y-轴、z-轴的投影。

假设这微小闭合盒子的形状为方形，三维尺寸为 ${\displaystyle 2\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}$ 、${\displaystyle 2\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y}$ 、${\displaystyle 2\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}z}$ ，盒心在坐标系的原点，盒表面垂直于直角坐标轴。泰勒展开 ${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$ 、${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$ 于原点：

其中，${\displaystyle {\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_0}$ 、${\displaystyle {\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_0}$ 分别是 ${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$ 、${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$ 位于原点的数值，${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}V=2\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}z\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{s}_z=2\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{s}_y}$ 是微小闭合盒子的体积。

所以，单位体积的动量，或每秒钟穿过单位面积的圆珠数量，或单位面积的圆珠的通量 ${\displaystyle {\mathfrak{p}}_x}$ 表达为

类似地，可以计算出 ${\displaystyle {\mathfrak{p}}_y}$ 和 ${\displaystyle {\mathfrak{p}}_z}$ 。设定 ${\displaystyle {\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_e=1/2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$ ，就可以得到安培定律的方程：

麦克斯韦将 ${\displaystyle {\mathfrak{p}}_x}$ 、${\displaystyle {\mathfrak{p}}_x}$ 、${\displaystyle {\mathfrak{p}}_x}$ 分别比拟为电流密度的三个分量 。

到目前为止，麦克斯韦还没有说明圆珠与涡胞之间的动力关系，他设定这些将这两个邻近涡胞隔离分开的圆珠，只能滚动（rolling），不能滑动，其线性速度是两个涡胞的周边速度的平均值。为了要使旋转讯息能够从一个涡胞传达到另个涡胞，麦克斯韦现在设定，圆珠会施加切力于与其接触的涡胞，圆珠也会感受到与其接触的涡胞所施加的切力和外部施加的作用力。为了要使旋转讯息能够从涡胞的外部传达到涡胞的内部，他又设定这些涡胞必须具有弹性性质。这样，假设施加某外力于圆珠，使得圆珠发生位移，则这些圆珠会辗转传递切力讯息于涡胞内部，使得涡胞变形。具有弹性的涡胞内部会产生一种回复力。当外力除去后，这回复力会使涡胞回复原形，使得圆珠返回原位。

假设，只注意x-分量，涡胞作用于圆珠的切力为 ${\displaystyle Q_x}$ （作用于单个圆珠的切力），则涡胞感受到圆珠的切力为 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->Q_x}$ ，涡胞的变形是 $$