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SL2(ℝ)

✍ dations ◷ 2025-04-02 16:23:24 #群论,李群,射影几何,双曲几何

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G₂ F₄E₆ E₇E₈
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

在数学中，特殊线性群 SL₂(ℝ) 是行列式为 1 的 2×2 实矩阵组成的群：

它是一个三维李群，在几何、拓扑、表示论及物理中有重要应用．

与 SL₂(ℝ) 密切相关的是射影线性群 PSL₂(ℝ)。这是将 SL₂(ℝ) 中每个元素与它的负元素等同得到的商：

一些作者将这个群记做 SL(2,ℝ)．这是一个单李群，包含模群 PSL₂(ℤ)．

SL₂(ℝ) 是 ℝ2 上所有保持定向面积的线性变换群。它同构于辛群 Sp₂(ℝ) 以及广义特殊酉群 SU(1,1)。它也同构于单位长共四元数群。

商 PSL₂(ℝ) 有多个有趣的描述：

PSL₂(ℝ) 的元素做为线性分式变换作用在实射影直线 $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ 的本征值满足特征多项式

从而

这导致了如下元素分类：

椭圆型元素的本征值都是复数，是单位圆周上的共轭值。这样的元素的作用是欧几里得空间中的旋转，相应的 PSL₂(ℝ) 元素之作用是双曲平面与闵可夫斯基空间的旋转。

模群的椭圆型元素的本征值一定为 {, 1/} 形式，其中是一个本原3次、4次、或6次单位根。他们是模群中所有有限阶元素，他们作用在环面上是周期性微分同胚。

抛物型元素只有一个本征值，1 或者 -1。这样的元素作用在欧几里得平面上是错切映射，相应 PSL₂(ℝ) 中元素作用在双曲平面上是极限旋转（limit rotation），在闵可夫斯基空间上的作用是零旋转。

模群的抛物型元素作用在环面上是德恩扭转（Dehn twist（英语：Dehn twist））。

双曲型元素的本征值都是实数，互为倒数。这样一个元素作用在欧几里得空间上是挤压映射（squeeze mapping（英语：squeeze mapping）），相应的 PSL₂(ℝ) 元素作用在双曲平面是平移，在闵可夫斯基空间上的作用是洛伦兹递升。

模群的双曲型元素作用在环面上是阿诺索夫微分同胚（Anosov diffeomorphism（英语：Anosov diffeomorphism））。

做为一个拓扑空间，PSL₂() 可以描述为双曲平面的单位切丛，这是一个圆丛，有由双曲平面上辛结构诱导的自然切触结构。SL₂() 是 PSL₂() 的二重复盖，可以认为是双曲平面上的旋量丛。

SL₂() 的基本群是无限循环群 ℤ。其万有覆盖群记做 ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ ，是一个有限维李群但不是矩阵群。即 ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ 没有忠实有限维表示。

做为一个拓扑空间， ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ 是双曲平面上一个线丛。若赋予一个左不变度量，3-流形 ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ 成为瑟斯顿八几何之一。例如， ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ 是任何双曲曲面的单位切丛的万有覆盖。任何以 ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ 为模型的流形是可定向的，也是一个二维双曲轨形上的圆丛（一个塞弗特纤维空间（Seifert fiber space（英语：Seifert fiber space）））。

SL₂(ℝ) 的中心是两个元素的群 {-1,1}，商 PSL₂(ℝ) 是单群。

PSL₂(ℝ) 的离散子群称为富克斯群（Fuchsian group（英语：Fuchsian group））。他们是欧几里得壁纸群（wallpaper group（英语：wallpaper group））和饰带群（Frieze group（英语：Frieze group））的双曲类比。最有名的是模群 PSL₂(ℤ)，它作用在双曲平面由理想三角形形成的嵌图上。

圆群SO(2)是 SL₂(ℝ) 的一个极大紧子群，圆 SO(2)/{-1,+1} 是 PSL₂(ℝ) 的一个极大紧子群。

PSL₂(ℝ) 的舒尔乘子（Schur multiplier（英语：Schur multiplier））是 ℤ，万有中心扩张与万有覆盖群相同。

SL₂(ℝ) 是一个实非紧单李群，也是复李群 SL₂(ℂ) 的分裂实形式。SL₂(ℝ) 的李代数记做 sl₂(ℝ)，是所有迹为零的 2×2 实矩阵。它是 VIII 型比安基代数。

SL₂(ℝ) 的有限维表示理论等价于SU(2)的表示理论，这是 SL₂(ℂ) 的紧实形式。特别地 SL₂(ℝ) 没有非平凡有限维酉表示。

SL₂(ℝ) 的无限维表示理论相当有意思。这个群有多类酉表示，这被盖尔范德、奈马克 (1946)、巴格曼 (1947)、Harish-Chandra (1952) 详细地解决了。

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