希尔伯特第十问题

希尔伯特的第十个问题，就是不定方程（又称为丢番图方程）的可解答性。这是希尔伯特于1900年在巴黎的国际数学家大会演说中，所提出的23个重要数学问题的第十题。

这个问题是问，对于任意多个未知数的整系数不定方程，要求给出一个可行的方法（verfahren），使得借助于它，通过有限次运算，可以判定该方程有无整数解。

这里德文的方法（verfahren），就是英文所谓的算法（algorithm）。对于算法的概念我们是不陌生的，例如远在古希腊时代，人们就知道可以使用辗转相除法，求两个自然数的最大公约数。还有，任给一个自然数，也存在着一个方法，在有限步骤内，可以判定这个数是不是质数。

虽然人们很早就有了算法的朴素概念，但对于到底什么是可行的计算，仍没有精确的概念。一个问题的可解与不可解究竟是什么含意，当时的人们还不得而知。然而为了研究第十问题，必须给予算法精确化的观念。这点还有赖于数理逻辑学对可计算性理论的发展，才得以实现。

不定方程是指含任意数量变元的整系数多项式方程

这里${\displaystyle a_{i_1{i}_2...i_k}}$。丢番图定义可以由方程组或单个方程给出，因为方程组

等价于单个方程：

递归可枚举集可以被描述为一个集合，对其存在一种算法，对这个算法，当集合的一个成员被输入时最终会停机，但一个非成员被输入时会不确定的继续。是可计算性理论（亦即递归论）给出了算法可计算性的直觉符号的精确解释，因而使得递归可枚举性的符号具有完美的严格性。显然，丢番图集是递归可枚举的。因为可以排列所有可能的未知数的值的多元组为一个序列，然后对于一个给定的参数值，一个接一个的测试这些多元组，看他们是否是相应方程的解。希尔伯特第十问题的不可解性源于令人惊讶的事实──其逆命题成立：

这一结果即马季亚谢维奇定理（由他提供的完成证明的关键步骤）和MRDP定理（即尤里·马季亚谢维奇（Yuri Matiyasevich），朱莉娅·罗宾逊（Julia Robinson），马丁·戴维斯（Martin Davis）和希拉里·普特南（Hilary Putnam）各人姓氏的首字母缩写）。因为“存在一个递归可枚举集是不可计算的”，希尔伯特第十问题的不可解性是其直接后果。实际上，还有更多的结论：有一个多项式

有整数系数使对于方程

有自然数解的${\displaystyle a}$的值的集合不可计算。因此，不仅没有一般的算法测试丢番图方程可解性，甚至也没有算法来测试单一参数家族的方程。

第十问题的解决是众人集体的智慧结晶。其中美国数学家马丁·戴维斯（Martin Davis）、希拉里·普特南（Hilary Putnam）和朱莉娅·罗宾逊（英语：Julia Robinson）（Julia Robinson）做出了突出的贡献。而最终的结果，是由俄国数学家尤里·马季亚谢维奇（Yuri Matiyasevich）于1970年所完成的。

其中${\displaystyle p}$是不定方程。他注意到丢番图集的补集并非丢番图的。而递归可枚举集对于补集运算也非封闭的，他因此猜测这两个集合类是相同的。

虽然并未成功，她发现如果存在这样的丢番图集${\displaystyle D=\{(a,b)\}}$，使得

而且

在假设这样丢番图集存在（称为J.R.）的情况下，她证明了幂函数是丢番图的。并且如果幂函数是丢番图的，那么二项式系数、阶乘以及质数集合都是丢番图的。

其中${\displaystyle F_n}$是第${\displaystyle n}$个斐波那契数。也就是它是丢番图的，并满足J.R.假设。从而可构造出一个不定方程，它不是递归可解的。也就是不存在算法，可以计算该方程式的整数解。因此使得希尔伯特第十问题，得到最终否定的解答。