自守数

自守数（Automorphic Number，中国大陆一些文献中也称为同构数）：是其任意次幂的末几位数字等于这个数本身的数。在十进制数字中，5、6、25、76、376、625、……（OEIS中的数列A003226）都是自守数。如果一个数是自守数，则它必定满足${\displaystyle x^m\equiv <!--\; \equiv \; -->x(\mathrm{mod}n)}$。

在十进制的${\displaystyle k}$位数中，最多有两类自守数，一个个位数字为5，另一个个位数字为6（除非${\displaystyle k=1}$，该数为3）。一个形式为${\displaystyle n\equiv <!--\; \equiv \; -->0(\mathrm{mod}{2}^k),n\equiv <!--\; \equiv \; -->1(\mathrm{mod}{5}^k)}$；另一个形式为${\displaystyle n\equiv <!--\; \equiv \; -->1(\mathrm{mod}{2}^k),n\equiv <!--\; \equiv \; -->0(\mathrm{mod}{5}^k)}$。其和必定为${\displaystyle {10}^k+1}$。

类似的，自守数可以推广到高次。如果把原来意义上的自守数称为2阶的话，把形如

3阶自守数的列表：1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249……（OEIS中的数列A033819）

的数称为3阶自守数。