舞蹈链

✍ dations ◷ 2025-10-25 20:49:10 #搜寻算法,数独

在计算机科学中, 舞蹈链(Dancing Links), 也叫 DLX, 是由 Donald Knuth 提出的数据结构,目的是快速实现他提出的的 X算法. X算法是一种递归算法,时间复杂度不确定, 深度优先, 通过回溯寻找精确覆盖问题所有可能的解。有一些著名的精确覆盖问题,包括铺砖块,八皇后问题,数独问题。

名字来自于这个算法的工作方式,算法中的迭代让链接与同伴链接"跳舞",很像“精心编排的舞蹈”。 Knuth 归功于 Hiroshi Hitotsumatsu 与 Kōhei Noshita 在1979的研究 , 但是Knuth的论文让舞蹈链流行。

文章的剩余部分讨论这种算法在Algorithm X中的应用,强烈建议读者先阅读 X算法 。

舞蹈链的主要思想来自于 双向链表

x.left.right ← x.right;x.right.left ← x.left;

以上代码会从链表中移除x元素

x.left.right ← x;x.right.left ← x;

以上代码会恢复x元素在链表中的位置(如果x的左侧元素和右侧元素没有变的话)。不管链表中有多少个元素,就算只有一个,算法也可以工作。

Knuth 发现用朴素算法实现Algorithm X会花费大量的时间来搜索1。当要选择一列的时候,要搜索整个矩阵来找到1。当选择一行的时候,需要在整列中搜索1。为了把搜索时间从 complexity O(n) 降到 O(1), Knuth 使用了一个 稀疏矩阵 ,只存放所有1 的位置。

无论何时,矩阵中的每个节点都会与左边和右边的节点(原始矩阵中的1的位置)、上面和下面(原始矩阵中同一列的1),以及列头连接。每一行和每一列都会形成一个双向链表。

每一列都会有特殊的,叫做“列头”的节点,作为列表中的一部分。列头形成了特殊的一行,(“控制行”)包括了原始矩阵中还存在的每一列。

最后,每一列的头会记录这一列中节点的个数,我们可以用这些信息来定位节点最少的一列,只花费complexity O() 的时间复杂度。 (而不是O(×)),这里的n指的是列的个数,m指的是行的个数。选择节点最少的一列来进行搜索在一些情况下可以提高性能,但不是每个问题中都需要这么做。

在 Algorithm X中,行与列是按照规则生成的,存储着原始矩阵。每次移除一列以及那列中的一行。如果选中的列没有包括任何行,当前的矩阵是无解的,必须回溯。当移除元素时,每一列中与那一行有交叉点的(原始矩阵中的1)都会被移除。列被移除了,因为他们已经被填满,行被移除是因为他们与指定的列有冲突。要移除某一列,要先移除那列的头,接着,遍历所有与这一列有交集的行,把那行与其他行的交点都去掉(这样阻止了这些列与当前列的冲突)。对包含1的列重复这样的列移除操作。这样的做法保证每个节点只被移除一次,并且按照顺序,这样就可以正确地回溯了。如果代入过程的矩阵没有任何的行,那么这已经被填满,选中的列就是一个解。

要回溯,之前的操作需要反过来做一遍,使用刚才提到的第二个算法。Knuth 的论文给了一个清晰的这两个操作的关系以及移除、恢复操作的具体方式,并放宽了要求。

算法也可以解决一个特定的约束是可选的覆盖问题,但是可以满足最多一次。 舞蹈链接可容纳这些必须填充的主要列,次要列是可选的。 这将算法的解决方案测试从没有列的矩阵改变为没有主列的矩阵,并且如果正在使用列中1最少的启发式搜索,那么只需在主列中检查。 Knuth讨论了应用于n皇后问题的可选约束。 棋盘对角线表示可选的约束,因为一些对角线可能不被占用。 如果一个对角线被占用,它只能被占用一次。

相关

  • 火星探测中国火星探测计划是中华人民共和国国家航天局第一个火星探测计划,于2016年1月11日正式立项。2011年发射的萤火一号是该计划的首颗火星探测器,与欧洲和俄罗斯合作发射,但失败。
  • 闲院宫载仁亲王闲院宫载仁亲王(1865年11月10日-1945年5月21日)是日本皇室的重要成员,闲院宫第六代当主。他是一名职业军人,从1931年到1940年载仁亲王出任参谋总长。闲院宫载仁亲王于庆应元年(186
  • 弗里蒙特-维纳玛坐标:42°36′N 121°12′W / 42.600°N 121.200°W / 42.600; -121.200弗里蒙特-维纳玛国家森林(英语:Fremont–Winema National Forest)是一座美国国家森林,2002年由弗里蒙特国
  • 法国殖民地法兰西殖民帝国是指法国在17世纪至1960年代控制的诸多殖民地。在19至20世纪初,它成为了仅次大英帝国的第二大殖民帝国。在1919至1939年这个巅峰时期,它横跨了1234.7万平方公里
  • 南浦特别市南浦特别市(朝鲜语:남포특별시/南浦特別市 Nampho Thŭkpyŏlsi */?)是朝鲜的一个特别市,是平壤重要的贸易港口、工业都市。人口366,815(2008年人口普查)。南浦是一个港湾都市,距
  • 获嘉县获嘉县是中国河南省新乡市下辖的一个县,位于新乡的西部,与焦作接壤,30多万人口,境内有牧野之战古战场,同盟山遗址。据《中州杂俎》:汉元鼎六年(公元前111年)春,汉武帝驾幸豫北,走到汲
  • 阿尔萨斯语阿尔萨斯语(,意为“阿尔萨斯德语”),一种通行于法国阿尔萨斯地区的日耳曼语系方言,属于低地阿勒曼尼语,与德语密切相关,使用者人数超过70万。
  • 委婉委婉,是指不直接了当的表达本意,只用曲折的言词烘托或暗示本意的一种表达方式。此用法在修辞学中称为婉曲,可分为曲折、微辞、吞吐、含蓄四类。用于委婉修辞的字或词通常只会取
  • 情人·知己《情人×知己》是台湾女歌手梁文音的第三张专辑,于2011年4月8日预购,2011年4月29日正式发行,首波主打歌《情人知己》,MV于日本福井县取景,拍摄时正值日本311大地震。
  • 虚幻 (消歧义)虚幻可指以下事物: