正规扩张

✍ dations ◷ 2025-04-03 12:23:55 #域论,抽象代数

正规扩张是抽象代数中的概念,属于域扩张中的一类。一个域扩张L/K是正规扩张当且仅当扩域L是多项式环中的某个多项式的分裂域。布尔巴基学派将这类扩张称为“准伽罗瓦扩张”。正规扩张是代数扩张的一种。

正规扩张的定义不止一种,以下三个准则都可以刻画正规扩张,是三个等价的定义。域扩张L/K是正规扩张当且仅当它满足以下三个等价条件中任意一个:

Q ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})} - 1)。 Q ( 2 p , ζ p ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt{2}},\zeta _{p})} Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上的多项式 x p 2 {\displaystyle x^{p}-2} 的分裂域。其中的 ζ p {\displaystyle \zeta _{p}} 是任意一个复数p次单位根。

设有域扩张L/K,那么:

设有域扩张L/K,那么总存在域扩张M/L,使得M/K是正规扩张。在同构意义上,“最小”的这样的扩张是唯一。即是说,其他的域扩张N/L如果使得N/K是正规扩张,那么总存在N/L的子扩张M'/L,使得M'同构于M。这个唯一的“最小”正规扩张M/L称为域扩张L/K的正规闭包。

如果L/K是有限扩张,那么它的正规闭包M/L也是有限扩张(因此M/K也是有限扩张)。

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