正规扩张

✍ dations ◷ 2025-04-02 09:52:44 #域论,抽象代数

正规扩张是抽象代数中的概念，属于域扩张中的一类。一个域扩张L/K是正规扩张当且仅当扩域L是多项式环中的某个多项式的分裂域。布尔巴基学派将这类扩张称为“准伽罗瓦扩张”。正规扩张是代数扩张的一种。

正规扩张的定义不止一种，以下三个准则都可以刻画正规扩张，是三个等价的定义。域扩张L/K是正规扩张当且仅当它满足以下三个等价条件中任意一个：

$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ - 1)。 $\mathbb {Q} ({\sqrt{2}},\zeta _{p})$ $\mathbb {Q} ({\sqrt{2}},\zeta _{p})$ 是 $\mathbb {Q}$ $\mathbb{Q}$ 上的多项式 $x^{p}-2$ $x^{p}-2$ 的分裂域。其中的 $\zeta _{p}$ $\zeta _{p}$ 是任意一个复数p次单位根。

设有域扩张L/K，那么：

设有域扩张L/K，那么总存在域扩张M/L，使得M/K是正规扩张。在同构意义上，“最小”的这样的扩张是唯一。即是说，其他的域扩张N/L如果使得N/K是正规扩张，那么总存在N/L的子扩张M'/L，使得M'同构于M。这个唯一的“最小”正规扩张M/L称为域扩张L/K的正规闭包。

如果L/K是有限扩张，那么它的正规闭包M/L也是有限扩张（因此M/K也是有限扩张）。

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