拟谱法

拟谱法（Pseudo-spectral methods）也称为离散变数表示（discrete variable representation、DVR）法，是在应用数学及计算科学中求解偏微分方程用的数值分析方法。拟谱法和谱方法（英语：spectral method）有密切关系，但在谱方法中基底函数中使用了拟谱的基底函数，也就是可以在分割网格上表示的函数。此作法简化一些运算子的计算，在使用快速算法（例如快速傅里叶变换）时可以加速计算速度。

考虑以下的初值问题

有周期性条件${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x+1,t)=\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x,t)}$。这个例子是势能为${\displaystyle V(x)}$之粒子的薛定谔方程，不过其结构可适用到其他应用。在许多实务上的偏微分方程中，其中有一项是和导数（例如是动能相关的量）有关，另一项则是和另一个函数（此处为势能）的乘积。

在谱方法中，其解${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$会展开为一组适合基底函数的组合，例如平面波。

将解代入，并且计算系数的方程，可以得到系数的常微分方程

而其元素${\displaystyle V_{nk}}$可以透过显式的傅立叶转换求得

若将${\displaystyle N}$基底函数的展开到一定项次后截断，并且找${\displaystyle c_n(t)}$的解，就可以得到偏微分方程的解。一般而言会用数值方法（英语：Numerical methods for ordinary differential equations）进行，例如龙格－库塔法。为了数值解，常微分方程的右侧需重复计算在许多不同时间间隔下的值。此时，谱方法有个和势能项${\displaystyle V(x)}$有关的主要问题。

在谱方法下，和势能函数${\displaystyle V(x)}$的相乘会转换为向量和矩阵的乘法，其复杂度是${\displaystyle N^2}$，而且在求解系数的微分方程时，需要另外去计算矩阵元素${\displaystyle V_{nk}}$，这也需要时间。

在拟谱法中，会用不同的方式来计算。给定系数${\displaystyle c_n(t)}$，会用反离散傅立叶转换来计算函数${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$在离散格点${\displaystyle x_j=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}j/N}$下的值。在格点上，计算函数的乘积 ${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\prime }(x_i,t)=V(x_i)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x_i,t)}$，再用傅立叶转换转换回来，可以得到一组新的系数${\displaystyle c_n^{\prime }(t)}$，来代替矩阵乘积运算${\displaystyle \underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{V}_{n-<!--\; -\; -->k}{c}_k(t)}$。

可以证明二个方法有类似的精准度，而且拟谱法可以使用快速傅立叶转换，其时间复杂度为${\displaystyle O(N\ln <!--\; \; -->N)}$，理论上比矩阵乘法要快很多。而且，可以直接计算函数${\displaystyle V(x)}$，不用再经过额外的积分运算。

若用比较抽象的方式来描述，拟谱法是处理在偏微分方程中二个函数${\displaystyle V(x)}$和${\displaystyle f(x)}$的乘积。为了简化表示式，省略掉函数中时间的自变数。在概念上，拟谱法包括三个步骤：

函数${\displaystyle f}$和${\displaystyle \stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}}$可以用一组有限基底的函数来扩展${\displaystyle \{{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n{\}}_{n=0,\dots <!--\; \dots \; -->,N}}$：

为了简化起见，令基底是正交且正规化的，${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n,{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_m⟩<!--\; ⟩\; -->={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{nm}}$，利用内积${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->f,g⟩<!--\; ⟩\; -->={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f(x)\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{g(x)}dx}$配合适当的边界${\displaystyle a,b}$，其系数为

配合一些计算可得

而${\displaystyle V_{n-<!--\; -\; -->m}=⟨<!--\; ⟨\; -->V{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_m,{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n⟩<!--\; ⟩\; -->}$。这是谱方法的基础。为了区分${\displaystyle {\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n}$的基底以及正交的基底，有时会将上述扩展称为有限基底表示（Finite Basis Representation、FBR）。

针对给定基底${\displaystyle \{{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n\}}$以及${\displaystyle N+1}$个基底函数，可以设法找到分割方式，也就是${\displaystyle N+1}$个点以及加权，使得

特别的例子包括多项式的高斯求积以及平面波的离散傅里叶变换，特别需注意的是格点及加权${\displaystyle x_i,w_i}$都是基底及数量${\displaystyle N}$的函数。

利用分割方式，可以透过格点上的值，以另一种方式来表示函数${\displaystyle f(x),\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}(x)}$的数值。此表示法有时称为离散变数表示法（Discrete Variable Representation、DVR），完全等效于基底的展开。

和函数${\displaystyle V(x)}$的相乘会在格点上进行

一般来说这里会有一些近似，可以计算其中一个系数${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{c}}_n}$:

利用谱方法，对应的系数会是${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{c}}_n=⟨<!--\; ⟨\; -->Vf,{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n⟩<!--\; ⟩\; -->}$。拟谱法则会用以下皂的近似来处理

若乘积可以用${\displaystyle Vf}$给定的有限基底函数组合来表现，则上式在给定分割方式上会完全正确。

若问题中有周期性的边界条件，其周期为${\displaystyle }$，基底函数可以用平面波来产生，

其中${\displaystyle k_n=(-<!--\; -\; -->1{)}^n\lceil <!--\; \lceil \; -->n/2\rceil <!--\; \rceil \; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/L}$，而${\displaystyle \lceil <!--\; \lceil \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->\rceil <!--\; \rceil \; -->}$是取整函数。

在${\displaystyle n_{\text{max}}=N}$处截断的分割为离散傅立叶转换，格点会平均分布${\displaystyle x_i=i\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}$，间隔为${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x=L/(N+1)}$，各点的加权会是相同旳定值${\displaystyle w_i=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}$。

在讨论误差时，需注意到平面波的乘积也是平面波，${\displaystyle {\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_a+{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_b={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_c}$，${\displaystyle c\le <!--\; \le \; -->a+b}$。因此，定量来说，若函数${\displaystyle f(x),V(x)}$可以用${\displaystyle N_f,N_V}$基底函数足够准确的呈现，只要用${\displaystyle N_f+N_V}$个基底函数，即可用拟谱法得到足够准确的结果。

平面波的扩展一般效果较差，需要许多的基底函数才能收敛。不过。基底展开和格点表示的转换可以用快速傅立叶转换进行，其时间复杂度较低，为${\displaystyle N\ln <!--\; \; -->N}$。因此，平面波是拟谱法中常用的一种基底函数。

另一种常见的展开方式是多项式，此处会使用高斯求积（Gaussian quadrature），其中提到可以找到加权系数${\displaystyle w_i}$及格点${\displaystyle x_i}$使得

对任意的${\displaystyle 2N+1}$次或是更低次的多项式${\displaystyle p(x)}$都成立。一般而言，加权函数${\displaystyle w(x)}$及范围${\displaystyle a,b}$都是根据特定问题所选定的，因此会选择几种分割方式中的一种。若要用在拟谱法，需选择基底函数为${\displaystyle {\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n(x)=\sqrt{w(x)}{P}_n(x)}$，其中${\displaystyle P_n}$为${\displaystyle n}$阶多项式，有以下特性

在上述条件下，the ${\displaystyle {\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n}$会是正交基底，其内积为${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->f,g⟩<!--\; ⟩\; -->={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f(x)\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{g(x)}dx}$。此基底以及分割点可以用在拟谱法中。

有关其误差，若${\displaystyle f}$可以用${\displaystyle N_f}$个基底函数很好的呈现，而${\displaystyle V}$可以用${\displaystyle N_V}$阶多项式很好的呈现，则其积可以用前${\displaystyle N_f+N_V}$个基底函数很好的呈现。且拟谱法用该数量的基底函数，会有足够准确的结果。

在一些标准问题中，会出现这些多项式。例如量子简谐振动子可以扩展为埃尔米特多项式，而在转动问题中，会用雅可比多项式来定义相关的勒壤得多项式。