拟谱法

✍ dations ◷ 2025-07-07 08:23:45 #拟谱法

拟谱法(Pseudo-spectral methods)也称为离散变数表示(discrete variable representation、DVR)法,是在应用数学及计算科学中求解偏微分方程用的数值分析方法。拟谱法和谱方法(英语:spectral method)有密切关系,但在谱方法中基底函数中使用了拟谱的基底函数,也就是可以在分割网格上表示的函数。此作法简化一些运算子的计算,在使用快速算法(例如快速傅里叶变换)时可以加速计算速度。

考虑以下的初值问题

有周期性条件 ψ ( x + 1 , t ) = ψ ( x , t ) {displaystyle psi (x+1,t)=psi (x,t)} 。这个例子是势能为 V ( x ) {displaystyle V(x)} 之粒子的薛定谔方程,不过其结构可适用到其他应用。在许多实务上的偏微分方程中,其中有一项是和导数(例如是动能相关的量)有关,另一项则是和另一个函数(此处为势能)的乘积。

在谱方法中,其解 ψ {displaystyle psi } 会展开为一组适合基底函数的组合,例如平面波。

将解代入,并且计算系数的方程,可以得到系数的常微分方程

而其元素 V n k {displaystyle V_{nk}} 可以透过显式的傅立叶转换求得

若将 N {displaystyle N} 基底函数的展开到一定项次后截断,并且找 c n ( t ) {displaystyle c_{n}(t)} 的解,就可以得到偏微分方程的解。一般而言会用数值方法(英语:Numerical methods for ordinary differential equations)进行,例如龙格-库塔法。为了数值解,常微分方程的右侧需重复计算在许多不同时间间隔下的值。此时,谱方法有个和势能项 V ( x ) {displaystyle V(x)} 有关的主要问题。

在谱方法下,和势能函数 V ( x ) {displaystyle V(x)} 的相乘会转换为向量和矩阵的乘法,其复杂度是 N 2 {displaystyle N^{2}} ,而且在求解系数的微分方程时,需要另外去计算矩阵元素 V n k {displaystyle V_{nk}} ,这也需要时间。

在拟谱法中,会用不同的方式来计算。给定系数 c n ( t ) {displaystyle c_{n}(t)} ,会用反离散傅立叶转换来计算函数 ψ {displaystyle psi } 在离散格点 x j = 2 π j / N {displaystyle x_{j}=2pi j/N} 下的值。在格点上,计算函数的乘积 ψ ( x i , t ) = V ( x i ) ψ ( x i , t ) {displaystyle psi '(x_{i},t)=V(x_{i})psi (x_{i},t)} ,再用傅立叶转换转换回来,可以得到一组新的系数 c n ( t ) {displaystyle c'_{n}(t)} ,来代替矩阵乘积运算 k V n k c k ( t ) {displaystyle sum _{k}V_{n-k}c_{k}(t)}

可以证明二个方法有类似的精准度,而且拟谱法可以使用快速傅立叶转换,其时间复杂度为 O ( N ln N ) {displaystyle O(Nln N)} ,理论上比矩阵乘法要快很多。而且,可以直接计算函数 V ( x ) {displaystyle V(x)} ,不用再经过额外的积分运算。

若用比较抽象的方式来描述,拟谱法是处理在偏微分方程中二个函数 V ( x ) {displaystyle V(x)} f ( x ) {displaystyle f(x)} 的乘积。为了简化表示式,省略掉函数中时间的自变数。在概念上,拟谱法包括三个步骤:

函数 f {displaystyle f} f ~ {displaystyle {tilde {f}}} 可以用一组有限基底的函数来扩展 { ϕ n } n = 0 , , N {displaystyle {phi _{n}}_{n=0,ldots ,N}}

为了简化起见,令基底是正交且正规化的, ϕ n , ϕ m = δ n m {displaystyle langle phi _{n},phi _{m}rangle =delta _{nm}} ,利用内积 f , g = a b f ( x ) g ( x ) ¯ d x {displaystyle langle f,grangle =int _{a}^{b}f(x){overline {g(x)}}dx} 配合适当的边界 a , b {displaystyle a,b} ,其系数为

配合一些计算可得

V n m = V ϕ m , ϕ n {displaystyle V_{n-m}=langle Vphi _{m},phi _{n}rangle } 。这是谱方法的基础。为了区分 ϕ n {displaystyle phi _{n}} 的基底以及正交的基底,有时会将上述扩展称为有限基底表示(Finite Basis Representation、FBR)。

针对给定基底 { ϕ n } {displaystyle {phi _{n}}} 以及 N + 1 {displaystyle N+1} 个基底函数,可以设法找到分割方式,也就是 N + 1 {displaystyle N+1} 个点以及加权,使得

特别的例子包括多项式的高斯求积以及平面波的离散傅里叶变换,特别需注意的是格点及加权 x i , w i {displaystyle x_{i},w_{i}} 都是基底及数量 N {displaystyle N} 的函数。

利用分割方式,可以透过格点上的值,以另一种方式来表示函数 f ( x ) , f ~ ( x ) {displaystyle f(x),{tilde {f}}(x)} 的数值。此表示法有时称为离散变数表示法(Discrete Variable Representation、DVR),完全等效于基底的展开。

和函数 V ( x ) {displaystyle V(x)} 的相乘会在格点上进行

一般来说这里会有一些近似,可以计算其中一个系数 c ~ n {displaystyle {tilde {c}}_{n}} :

利用谱方法,对应的系数会是 c ~ n = V f , ϕ n {displaystyle {tilde {c}}_{n}=langle Vf,phi _{n}rangle } 。拟谱法则会用以下皂的近似来处理

若乘积可以用 V f {displaystyle Vf} 给定的有限基底函数组合来表现,则上式在给定分割方式上会完全正确。

若问题中有周期性的边界条件,其周期为 {displaystyle } ,基底函数可以用平面波来产生,

其中 k n = ( 1 ) n n / 2 2 π / L {displaystyle k_{n}=(-1)^{n}lceil n/2rceil 2pi /L} ,而 {displaystyle lceil cdot rceil } 是取整函数。

n max = N {displaystyle n_{text{max}}=N} 处截断的分割为离散傅立叶转换,格点会平均分布 x i = i Δ x {displaystyle x_{i}=iDelta x} ,间隔为 Δ x = L / ( N + 1 ) {displaystyle Delta x=L/(N+1)} ,各点的加权会是相同旳定值 w i = Δ x {displaystyle w_{i}=Delta x}

在讨论误差时,需注意到平面波的乘积也是平面波, ϕ a + ϕ b = ϕ c {displaystyle phi _{a}+phi _{b}=phi _{c}} c a + b {displaystyle cleq a+b} 。因此,定量来说,若函数 f ( x ) , V ( x ) {displaystyle f(x),V(x)} 可以用 N f , N V {displaystyle N_{f},N_{V}} 基底函数足够准确的呈现,只要用 N f + N V {displaystyle N_{f}+N_{V}} 个基底函数,即可用拟谱法得到足够准确的结果。

平面波的扩展一般效果较差,需要许多的基底函数才能收敛。不过。基底展开和格点表示的转换可以用快速傅立叶转换进行,其时间复杂度较低,为 N ln N {displaystyle Nln N} 。因此,平面波是拟谱法中常用的一种基底函数。

另一种常见的展开方式是多项式,此处会使用高斯求积(Gaussian quadrature),其中提到可以找到加权系数 w i {displaystyle w_{i}} 及格点 x i {displaystyle x_{i}} 使得

对任意的 2 N + 1 {displaystyle 2N+1} 次或是更低次的多项式 p ( x ) {displaystyle p(x)} 都成立。一般而言,加权函数 w ( x ) {displaystyle w(x)} 及范围 a , b {displaystyle a,b} 都是根据特定问题所选定的,因此会选择几种分割方式中的一种。若要用在拟谱法,需选择基底函数为 ϕ n ( x ) = w ( x ) P n ( x ) {displaystyle phi _{n}(x)={sqrt {w(x)}}P_{n}(x)} ,其中 P n {displaystyle P_{n}} n {displaystyle n} 阶多项式,有以下特性

在上述条件下,the ϕ n {displaystyle phi _{n}} 会是正交基底,其内积为 f , g = a b f ( x ) g ( x ) ¯ d x {displaystyle langle f,grangle =int _{a}^{b}f(x){overline {g(x)}}dx} 。此基底以及分割点可以用在拟谱法中。

有关其误差,若 f {displaystyle f} 可以用 N f {displaystyle N_{f}} 个基底函数很好的呈现,而 V {displaystyle V} 可以用 N V {displaystyle N_{V}} 阶多项式很好的呈现,则其积可以用前 N f + N V {displaystyle N_{f}+N_{V}} 个基底函数很好的呈现。且拟谱法用该数量的基底函数,会有足够准确的结果。

在一些标准问题中,会出现这些多项式。例如量子简谐振动子可以扩展为埃尔米特多项式,而在转动问题中,会用雅可比多项式来定义相关的勒壤得多项式。


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