欧拉角

莱昂哈德·欧拉用欧拉角来描述刚体在三维欧几里得空间的取向。对于任何参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。所以，刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。换句话说，任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。

对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。

参阅右图。设定xyz-轴为参考系的参考轴。称xy-平面与XY-平面的相交为交点线，用英文字母（N）代表。zxz顺规的欧拉角可以静态地这样定义：

很可惜地，对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规。科学家对此从未达成共识。每当用到欧拉角时，我们必须明确的表示出夹角的顺序，指定其参考轴。

实际上，有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。欧拉角方法只是其中的一种。此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义。

对应于每一个取向，设定的一组欧拉角都是独特唯一的；除了某些例外：

前面提到，设定刚体取向的旋转矩阵${\displaystyle }$是由三个基本旋转矩阵合成的：

从左到右依次代表绕着z轴的旋转、绕着交点线的旋转、绕着Z轴的旋转。

经过一番运算,

${\displaystyle }$的逆矩阵是：

在经典力学里，时常用zxz顺规来设定欧拉角；照着第二个转动轴的轴名，简称为x顺规。另外，还有别种欧拉角组。合法的欧拉角组中，唯一的限制是，任何两个连续的旋转，必须绕着不同的转动轴旋转。因此，一共有12种顺规。例如，y顺规，第二个转动轴是y-轴，时常用在量子力学、核子物理学、粒子物理学。另外，还有一种顺规，xyz顺规，是用在航空航天工程学；参阅泰特-布莱恩角（英语：Tait-Bryan angles）。

我们也可以给予欧拉角两种不同的动态定义。一种是绕着固定于刚体的坐标轴的三个旋转的复合；另外一种是绕着实验室参考轴的三个旋转的复合。用动态的定义，我们能更了解，欧拉角在物理上的含义与应用。特别注意，以下的描述, XYZ坐标轴是旋转的刚体坐标轴；而xyz坐标轴是静止不动的实验室参考轴。

参阅欧拉角图，定义A与静态定义的相等，这可以直接用几何制图方法来核对。

定义A与定义B的相等可以用旋转矩阵来证明：

思考任何一点${\displaystyle P_1}$，在xyz与XYZ坐标系统的坐标分别为${\displaystyle {\mathbf{r}}_1}$与${\displaystyle {\mathbf{R}}_1}$。定义角算符${\displaystyle Z(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}$为绕着Z-轴旋转${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$角值。那么，定义A可以表述如下：

用旋转矩阵表示,

思考任何一点${\displaystyle P_2}$，在xyz与XYZ坐标系统的坐标分别为${\displaystyle {\mathbf{r}}_2}$与${\displaystyle {\mathbf{R}}_2}$。定义角算符${\displaystyle z(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}$为绕着z-轴旋转${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$角值。则定义B可以表述如下：

用旋转矩阵表示,

假设，${\displaystyle {\mathbf{r}}_1={\mathbf{r}}_2}$ ．那么，

乘以逆算符，

但是，从旋转矩阵可以观察出，

所以，

定义A与定义B是相等的。

欧拉角在SO(3)上，形成了一个坐标卡 (chart)；SO(3)是在三维空间里的旋转的特殊正交群。这坐标卡是平滑的，除了一个极坐标式的奇点在${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=0}$　。

类似的三个角的分解也可以应用到SU(2)；复数二维空间里旋转的特殊酉群；这里，${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$值在 0 与${\displaystyle 2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$之间。这些角也称为欧拉角。

欧拉角广泛地被应用于经典力学中的刚体研究，与量子力学中的角动量研究。

在刚体的问题上, xyz坐标系是全域坐标系，XYZ坐标系是局域坐标系。全域坐标系是不动的；而局域坐标系牢嵌于刚体内。关于动能的演算，通常用局域坐标系比较简易；因为，惯性张量不随时间而改变。如果将惯性张量（有九个分量，其中六个是独立的）对角线化，那么，会得到一组主轴，以及一个转动惯量（只有三个分量）。

在量子力学里，详尽的描述SO(3)的形式，对于精准的演算，是非常重要的，并且几乎所有研究都采用欧拉角为工具。在早期的量子力学研究，对于抽象群理论方法(称为Gruppenpest)，物理学家与化学家仍旧持有极尖锐的反对态度的时候；对欧拉角的信赖，在基本理论研究来说，是必要的。

欧拉角的哈尔测度有一个简单的形式${\displaystyle \sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}d\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}d\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}d\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$通常在前面添上归一化因子${\displaystyle 1/8{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}$。例如，我们要生成均匀随机取向，使${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$、${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$从${\displaystyle 0}$至${\displaystyle 2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$分别均匀的选随机值；使${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\arccos <!--\; \; -->(z)}$，${\displaystyle z}$从${\displaystyle -<!--\; -\; -->1}$至${\displaystyle 1}$均匀的选随机值。

单位四元数，又称欧拉参数，提供另外一种方法来表述三维旋转。这与特殊酉群的描述是等价的。四元数方法用在大多数的演算会比较快捷，概念上比较容易理解，并能避免一些技术上的问题，如万向锁现象。因为这些原因，许多高速度三维图形程式制作都使用四元数。