Lp范数

✍ dations ◷ 2025-04-03 10:15:42 #线性代数,泛函分析,度量几何,范数,机器学习

L p {\displaystyle L_{p}} -范数(英语: L p {\displaystyle L_{p}} -norm,亦称 p {\displaystyle \ell _{p}} -范数、 p {\displaystyle p} -范数)是向量空间中的一组范数。 L p {\displaystyle L_{p}} -范数与幂平均有一定的联系。它的定义如下:

L p ( x ) = x p = ( i = 1 n | x i | p ) 1 / p , x = { x 1 , x 2 , , x n } , p 1. {\displaystyle L_{p}({\vec {x}})=\lVert {\vec {x}}\rVert _{p}={\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\Bigr )}^{1/p},\qquad {\vec {x}}=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\},\,p\geqslant 1.}

在机器学习中,为了对抗过拟合、提高模型的泛化能力,可以通过向目标函数当中引入参数向量的 L p {\displaystyle L_{p}} -范数来进行正则化。其中最常用的是引入 L 1 {\displaystyle L_{1}} -范数的 L 1 {\displaystyle L_{1}} -正则项和引入 L 2 {\displaystyle L_{2}} -范数的 L 2 {\displaystyle L_{2}} -正则项;前者有利于得到稀疏解,后者有利于得到平滑解。

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